Problema numero 12 - The theory of numbers

Probar que 5^(2n+1) + 2^(8n+9) es múltiplo de 11 para todo n>1

Bueno, veamos cual es el ciclo de los residuos de las potencias de 5 y 2 módulo 11

5^1 :~ 5 (mod 11)

5^2 :~ 5·5 :~ 25 :~ 3 (mod 11)

5^3 :~ 3·5 :~ 15 :~ 4 (mod 11)

5^4 :~ 4·5 :~ 20 :~ 9 (mod 11)

5^5 :~ 9·5 :~ 45 :~ 1 (mod 11)

5^6 :~ 1· 5 :~ 5 (mod 11)

ya se repite el primer residuo

Luego el ciclo es (5, 3, 4, 9, 1)

2^1 :~ 2 (mod 11)

2^2 :~ 4 (mod 11

2^3 :~ 8 (mod 11)

2^4 :~ 16 :~ 5 (mod 11)

2^5 :~ 5·2 :~ 10 (mod 11)

2^6 :~ 10·2 :~ 20 :~ 9 (mod 11)

2^7 :~ 9·2 :~ 18 :~ 7 (mod 11)

2^8 :~ 7·2 :~ 14 :~ 3 (mod 11)

2^9 :~ 3·2 :~ 6 (mod 11)

2^10 :~ 6·2 :~ 12 :~ 1 (mod 11)

2^11 :~ 1·2 :~ 2 (mod 11

Por fin se repite el residuo

el ciclo es (2, 4, 8, 5, 10, 9, 7, 3, 6, 1)

Ahora veamos como van los exponentes, primero el del 5 que es 2n+1

3, 5, 7, 9, 11, 13

Recordando que el ciclo de residuos es (5, 3, 4, 9, 1) estos exponentes hacen que los residuos de 5^(2n+1) módulo 11 tengan este ciclo

(4, 1, 3, 9 , 5)

Y ahora vemos los exponentes del 2 que son 8n+9

17, 25, 33, 41, 49, 57...

Si te fijas aunque los residuos potencias de 2 forman un ciclo de 10, por la forma de los exponentes solo se van a utilizar séptimo, quinto, tercero, primero y noveno. Como el ciclo era este (2, 4, 8, 5, 10, 9, 7, 3, 6, 1) los utilizados son

(7, 10, 8, 2, 6)

Y finalmente el ciclo del residuo de la suma de la potencia de 5 y la correspondiente de 2 es la suma de los residuos de ambas

(4, 1, 3, 9 , 5) + (7, 10, 8, 2, 6) = (11, 11, 11, 11, 11) :~ (0,0,0,0,0) (mod 11)

Eso es el ciclo de 5 que se repite y al final el residuo es 0 y las expresiones son divisibles por 11 para todo n.

Y eso es todo.