Ejercicio 2f pagina 153

Demuestra que es diferenciable y calcula sus derivadas

f: U ---> R

(x,y) ---> sqrt(1-x^2-y^2)

U={(x,y) | x^2 + y^2 < 1}

Usaremos el teorema que dice que si una función tiene todas sus derivadas parciales y son continuas en un entorno de un punto entonces la función es diferenciable en ese punto.

$$\begin{align}&f(x,y) = \sqrt{1-x^2-y^2}\\ &\\ &\\ &\frac{\partial f}{\partial x}=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2-y^2}}\\ &\\ &\\ &\frac{\partial f}{\partial y}=-\frac{y}{\sqrt{1-x^2-y^2}}\\ &\end{align}$$

Como los puntos de U cumplen x^2+y^2 <1 entonces

-x^2-y^2 >-1

1-x^2-y^2 >0

Con lo cual en ningún punto de U se anula el denominador y las derivadas parciales son continuas en todo punto de U y la función es diferenciable en U.

Y eso es todo.