Ejercicios sobre números primos

Me gusta mucho que me hayas facilitado esos dos textos de teoría. He leído el primero y voy a descansar antes de leer el segundo.

Respecto a las preguntas no sé que pides exactamente en la primera. Yo, por alguna cosa que he leído en internet, que yo no estudié Teoría de Números, sé que los primos de Mersenne son muy complicados de encontrar y hay muy pocos. Por lo que la parte que dice:

Si n es primo, entonces Mn es primo

Es falsa.

No hay más que mirar aquí:

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_primo_de_Mersenne

Y vemos que en la lista que sale de los primos de Marsenne faltan los creados con n = 11, 23, 29, 37, etc.

Antes de continuar el problema, leeré el otro escrito por ver si da algún teorema que sirva para esos problemas.

Queda entonces a la espera y si acaso responde cuál es exactamente el enunciado de la primera pregunta.

Había respondido por completo tu pregunta, pero por un fallo de los responsables de la página se ha perdido la respuesta y no se puede recuperar. Y ahora no puedo volver a escribirla, Espera unas horas, casi un día.

En resumen era:

Mn primo implica n primo

N primo NO implica Mn primo

Es cierta la igualdad de las funciones parte entera.

Más que nadie siento yo el fallo de la página porque tendré que volver a redactarlo todo.

Hola, no hay problema por el tiempo para responder.

Primero quiero expresar que es muy bueno que haya al fin un editor para matemáticas.

Con respecto a la primera pregunta, era demostrar la doble implicación (si es posible):

$$2^n\ es\ primo\leftrightarrow n\ es\ primo$$

Pero según lo que me escribiste, basta probar  que 

Si Mn es primo, entonces n es primo.

Con respecto a los apuntes pienso que si me vas a ayudar lo mejor es facilitarte la teoría que estoy viendo.

Ya había preguntado antes. Siempre me ayudas te lo agradezco.

Esperaré el resto de la respuesta.

Vayamos a las demostraciones y rezaremos un poco porque no vuelva a falla la página dichosa.

No usaré todos los paréntesis porque no hay nada más odioso que los miles de paréntesis que habría que poner en las expresiones matemáticas escritas en linea única para garantizar que no haya ambiguedad..

Usaré las convenciones que dicen que en ausencia de parentesis se efectuan primero las potencias, luego multiplicaciones y divisiones y lo último sumas y restas. Es la notación ad hoc para que en los polinomios no haya que escribir ni un solo paréntesis

Así ab^3+cb^2+3 no ofrece duda y sería [a(b^3)] + [c(b^2)] + 3 entre las muchísimas (más de las que por lógica puedas creer) combinaciones que pueden formarse.

Si Mn primo, entonces n primo

Necesitaremos la denominada igualdad ciclotómica que dice:

a^n - b^n = (a-b) · [a^(n-1) + a^(n-2)·b + a^(n-3)·b^2 + ...+ a·b^(n-2) + b^(n-1)]

La demostración es tan sencilla como efectuar la parte derecha y ver que da lo mismo que en la izquierda.

El caso n = 2 da está igualdad notable

a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)

a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ ab + b^2)

etc.

Sea Mn primo y supongamos que n no  es primo. Veremos que nos lleva a un absurdo.

Entonces n = rs con i, j que mayores que 1. Perdona por usar esas letras poco usuales, pero la i y la j no se distinguen apenas, la "l" tampoco, la "ka", "cu" y "ese" no las permite sueltas el corrector y la n ya está usada

Mn = 2^n - 1 = 2^(rt) - 1 = (2^r)^t - 1 =

Usamos la igualdad ciclotómica tomando a=2^r, b=1

= (2^r -1) · [(2^r)^(t-1) + (2^r)^(t-2) + ... + 2^2 + 1]

Hemos descompuesto Mn en dos factores y ambos son mayores que 1 porque al ser r>1 tenemos

2^r -1 >= 2^2 -1 = 3

y el factor derecho, al ser también  t>1, tenemos que cuanto menos valdrá

(2^2)^1 + 1 = 5

Luego Mn no es primo y hemos llegado a contradicción porque lo era, luego la suposición es falsa y n es primo.

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Si n es primo no se deduce que Mn sea primo.

Es lo que ya vimos en la primera respuesta que te di, que había contraejemplos en n = 11, 23, 29, 37, etc. según dice la Wikipedia.

Probemos simplemente el 11

2^11 - 1 = 2047 = 23 · 89

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2) Tendré que cambiar las variables por culpa del MALDITO CORRECTOR

Mostrar que si p^m no divide a n, entonces ( |z| -> función piso o parte entera ) entonces

|n/p^m| - |(n-1)/p^m| = 0

La teoría dice que dados a y b existen unos c y r únicos tales que

a = cb + r

con c € z y r € N con 0 <= r < b

Lo aplicamos a n y p^m:

n = cp^m + r

con c € Z y r € N con 0 <= r < p^m

Pero nos dicen que p^m no divide a n, y si r fuese cero si que lo dividiría, luego

1 <= r < p^m

dividimos entre p^m y tendremos

n/p^m = c + r/p^m

como r < p^m tenemos

0  < r/pm < 1

y por tanto

c < n/p^m < c+1

Y c es la parte entera de n/p^m porque es el máximo entero que es menor o igual que n/p^m.  Esa es la definición de la función piso o parte entera.

http://es.wikipedia.org/wiki/Funciones_de_parte_entera

Si en n = cp^m + r

que como sabemos cumplía c € Z y r € N con 1 <= r < p^m

restamos 1 en ambos lados tendremos

n-1 = cp^m + r-1

con c € Z y r € N con 0 <= r-1 < p^m

y dividiendo entre p^m

(n-1)/p^m = c + (r-1)/p^m

con 0 <= (r-1)/p^m < 1

luego

c <= (n-1)/p^m < c+1

Y c es también la parte entera de (n-1)/p^m

Y con todo esto la igualdad que planrtea el problema se reduce a

c-c= 0 que es cierta, luegop se cumple el enunciado.

Tu aclaración me llegó más tarde o no la vi antes de contestar. Pero con lo que escribí queda respondida tu duda. ¿Hablas de que hay un editor matemático aquí? Hace unos días lo probaba y no funcionaba como la mayoría de las cosa que hay aquí.

Déjame que pruebe:

$$\begin{align}&2^n -1\\ &\frac n {p^m}\end{align}$$

Dentro del editor se ve bien pero al salir de él se ve todo en línea.  Si no llega bien ya me dirás como lo hiciste tú para que se viera bien.  A lo mejor hay algo que no sé sobre este editor.