Trigonometría!

Intentaré responder, pero antes te haré la observación que hago a casi todo el mundo de que hay que usar y abusar de los paréntesis. Cuando se escribe en línea no es como cuando podemos poner las barras horizontales de las fracciones; la única forma que tenemos de delimitar numeradores y denominadores es a través de los paréntesis.
Intentaré desentrañar lo que quieres poner
Ah, y como tenemos un corrector ortográfico asqueroso que transforma las equis en por, usaré la variable z en lugar de equis.
1a)
(Sen 2z/ 1-cos z) (1+cosz/cosz) creo que será
[sen 2z /(1-cosz)] [(1+cosz)/cosz] =
[sen 2z·(1+cosz)] / [(1-cosz)cosz] =
Por una parte tenemos
sen 2z = 2senzcosz,
sustituyendo y simplificando queda:
2senz(1+cosz)/(1-cosz) =
Por otro lado
1+cosz = 2cos^2(z/2) 
1-cosz = 2sen^2(z/2)
Y queda
2senz·cos^2(z/2)/sen^2(z/2) =
aplicamos otra vez la formula del seno del ángulo doble
4sen(z/2)cos(z/2)cos^2(z/2)/sen^2(z/2) =
4cos^3(z/2)/sen(z/2)
No sé si será eso a lo que quieren que lleguemos, lo de simplificar es algo muy relativo y subjetivo.
2a)
De nuevo lo siento, pero por culpa del corrector cambiaré las equis por zetas
(senz+seny/ senz -sen y ) (cosz-cosy/ cosz+cosy) = -tg^2 z+y/2
Supongo que en la izquierda es -tg^2[(z+y)/2]
No es sencillo, Como no me salía nada verifique con el ordenador la función en unos cuantos puntos y daba lo mismo en el lado derecho que el izquierdo, al menos sabía que era verdadera la afirmación.
Vamos a desarrollarlo partiendo de la fórmula de la tangente del angulo mitad que dice
tg(A/2) = sqrt[(1-cosA)/(1+cosA)]
siendo sqrt=raíz cuadrada. Entonces
-tg^2(A/2) = (cosA-1)/(1+cosA)
y aplicándolo a lo nuestro
- tg^2[(z+y)/2] = (coszcoxy - senzseny -1) / (1 + coszcosy - senzseny)
Por otra parte el lado izquierdo tras operarlo queda
(senzcosz-senzcosy+senycosz-senycosy)/(senzcosz+senzcosy-senycosz-senycosy)
Debemos que demostrar que son iguales las dos fracciones, luego deben serlo los productos cruzados
(senzcosz-senzcosy+senycosz-senycosy)(1 + coszcosy - senzseny) =
(senzcosz+senzcosy-senycosz-senycosy)(coszcoxy - senzseny -1)
Es aparatoso pero no he encontrado otra forma.
SIn hacer todas las operaciones se ve que hay varias que se repiten en los dos lados porque los factores tienen partes iguales y partes opuestas. Se simplifican sin necesidad de tener que escribirlo aquí y lo que queda distinto es:
senzcosz-senycosy + (-senzcosy+senycosz)(coszcosy - senzseny) =
-sencosz+senycosy + (senzcosy-senycosz)(coszcosy - senzseny)
Dando de nuevo pasos no escritos, operamos y sacamos factor común quedando:
senzcosz[1-cos^2(y)-sen^2(y)] + senycosy[-1+sen^2(z)+cos^2(z)] =
senzcosz[-1+cos^2(y)+sen^2(y) + senycosy[1-sen^2(z)-cos^2(z)]
y operando un poco más
senzcosz[sen^2(y)-sen^2(y)] + senycosy[-cos^2(z)+cos^2(z)] =
senzcosz[-sen^2(y)+sen^2(y)] + senycosy[cos^2(z)-cos^2(z)]
Y ya se ve que se cumple la igualdad que no es otra que 0=0
Con esto queda demostrada la identidad inicial. Pero por la dificultad de escribirlo todo e omitido pasos, si quieres comprobarlo por completo toma un papel bien ancho y a hacer cuentas y cuentas.
2b)
cos^2(z) + cos^2(y)= 1 - cos (z+y) cos (z-y)
cos^2(z) + cos^2(y) = 1 - (coszcosy - senzseny)(coszcosy+senzseny)
cos^2(z) + cos^2(y) = 1 - cos^2(z)cos^2(y) + sen^2(z)sen^2(y)
Ponemos el 1 como sen^2(y)+cos^2(y)
cos^2(z) + cos^2(y) = sen^2(y) + cos^2(y) - cos^2(z)cos^2(y) + sen^2(z)sen^2(y)
cos^2(z) + cos^2(y) = cos^2(y)[1-cos^2(z)]+ sen^2(y) + sen^2(z)sen^2(y)
cos^2(z) + cos^2(y) = cos^2(y)sen^2(z) + sen^2(y) + sen^2(z)sen^2(y)
cos^2(z) + cos^2(y) = sen^2(z)[cos^2(y)+sen^2(y)] + sen^2(y)
cos^2(z) + cos^2(y) = sen^2(z) + sen^2(y)
Ahora intercambiamos ya sumandos entre los dos miembros
cos^2(z) - sen^2(z) = sen^2(y) - cos^2(y)
cos(2z) = - cos(2y)
2z y 2y Son ángulos suplementarios, simétricos respecto al eje Y
2z = Pi-2y
z = Pi/2 - y
z e y son ángulos complementarios
Esta vez parece que no era una identidad sino una ecuación con infinitas respuestas. A modo de curiosidad comprobemos qué pasa cuando se cumple que z e y son complementarios, para verificar que lo hemos resuelto bien.
cos^2(Pi/2 - y) + cos^2(y) = 1 - cos[Pi/2 - y + y]cos[Pi/2 -y -y]
Sabemos que el coseno del complementario es el seno del original
sen^2(y) + cos^2(y) = 1 - cos(Pi/2)sen(2y)
1 = 1 - 0·sen(2y) = 1
Y en efecto, la igualdad se torna en identidad.
Y eso es todo.

Muchas gracias. Sí lo he entendido :)
Pero ahora tengo una pequeña duda.. ¿podemos poner que sen(z) = 1-cos(z)..?
Yo diría que no, pero no lo sé cierto.. porque de la raíz cuadrada sólo se pueden sacar lo que esté multiplicando y eso está restando pero no sé T.T

Lo que has escrito no es una identidad. No le encuentro sentido. ¿Podrías decirme de dónde o cómo lo has deducido?
Lo que más se asemeja a eso y es cierto es:
sen(z) = 1-cos^2(z) si z € [0, Pi]
sen(z) = -(1-cos^2(z) = -1 + cos^2(z) si z € [PI, 2Pi]

Pues de aquí:
sen^2(z)+cos^2(z)=1