Pregunta de calculo multivariable 1

Hola valeroasm!

En esta pregunta piden que halle la longitud de una elipse en términos de sus valores de sus semiejes.

Saludos

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1

Pdl!

Conozco ese problema y se que la función que hay que integrar para calcular la longitud no tiene función primitiva. Ya me dirás que hago.

????

Aquí tienes lo que dice la Wikipedia al respecto.

Perímetro de una elipse

Y esta es la integral elíptica de la que se habla el lo anterior

Integral elíptica

Tomemos la ecuación paramétrica de la elipse centrada en el origen

x(t) = a·cost

y(t) = b·sent

Usemos la fórmula para el cálculo de la longitud de un arco dado en coordenadas paramétricas

$$l =\int_a^b \sqrt{[x´(t)]^2+[y´(t)]^2}\;dt$$

Por simetrías podemos tomar la longitud del arco con t entre 0 y Pi/2 y multiplicarlo por 4

$$\begin{align}&l=4\int_0^{\pi/2}\sqrt{a^2sen^2t+b^2cos^2t} \;dt=\\ &\\ &\text {Suponemos } a\le b\;\; \text{  Si no, se gira la elipse}\\ &\\ &4\int_0^{\pi/2}\sqrt{a^2sen^2t+b^2cos^2t+b^2sen^2t-b^2sen^2t} \;dt=\\ &\\ &4\int_0^{\pi/2}\sqrt{b^2-(b^2-a^2)sen^2t}\;dt=\\ &\\ &4b\int_0^{\pi/2}\sqrt{1-\left(\frac{\sqrt{b^2-a^2}}{b}\right)^2sen^2t}\;dt=\\ &\\ &4bE\left( \frac{\sqrt{b^2-a^2}}{b} \right)\end{align}$$

Hemos conseguido poner la longitud en función de una integral elíptica y en el artículo de la integral elíptica puedes ver como conseguir aproximaciones

$$\begin{align}&l =2b\pi \left(1-\frac {b^2-a^2}{4b^2}-\frac{3(b^2-a^2)^2}{64b^4}-\frac{5(b^2-a^2)^3}{256b^6}-\frac{175(b^2-a^2)^4}{16384b^8-}-...\right)\\ &\\ &\end{align}$$

O se usa esa fórmula o se hace la integración con algún método numérico o se usa la fórmula que dice la wikipedia

$$l \approx\pi[3(a+b)-\sqrt{(3a+b)(a+3b)}$$

Vamos a hacerlo de las tres formas para la elipse con semiejes a=1 y b=2

Integración numérica con Máxima

4*quad_qags(sqrt(sin(t)^2+4*cos(t)^2), t, 0, %pi/2);

[9.688448220547677,3.4672706213552256*10^-10,84,0]

Fórmula simplificada

Pi(9-sqrt(35)) = 9.688421098

Formula de Taylor de la integral elíptica

primer nivel = 4pi = 12.566...

segundo nivel = 4pi(1- 3/16) = 13Pi/4=10.21017..

tercer nivel =4pi(1 - 3/16 - 27/1024) = 9.878836274

cuarto nivel =4pi(1 - 3/16 - 27/1024 - 135/16384) = 9.775292571

quinto nivel = 9.732823474

Resumiendo.

La fórmula simplificada de Ramanujan nos ha dado 5 cifras exactas y la fórmula de Taylor de la integral elíptica no parece que converja rápidamente, a lo mejor con muchas iteraciones servirá, pero sin el ordenador lo tenemos difícil de conseguir.

La integración numérica es eso, numérica, no da fórmulas sencillas si se aplica a formulas con letras. Pero dada una elipse concreta es lo mejor.

Y eso es todo.

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