Módulo de vector

Si el módulo del vector diferencia de dos vectores uniatrios es raíz cuadrada de 2, dichos vectores, deben ser:
a) colineales
Paralelos
Ser perpendiculares
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La respuesta correcta es perpendiculares, y se puede demostrar de muchas maneras.
Por de pronto en álgebra se trabaja con vectores libres, sin punto de aplicación, o sea que los vectores pueden moverse siempre y cuando no les variemos su módulo ni los giremos ( pues cambiaríamos su dirección). Con ésto quiero decir que la respuesta a)colineales y b)paralelos es la misma. Y por supuesto ninguna es la correcta, pues al restar dos vectores del mismo módulo y dirección, sólo nos encontraríamos dos casos: o son del mismo sentido, con lo cual el vector diferencia es el vector 0, de módulo cero, o bien tienen sentidos contrarios, con lo cual al restarlos nos quedaría un vector de módulo 2. Así por tanto, por eliminación nos queda la tercera opción.
De todas formas vamos a demostrarlo, aunque lo haremos en el plano, la demostración es extensible a más dimensiones
Sean dos vectores unitarios
v=(vx,vy)
w=(wx,wy)
Al ser unitarios, sús módulos serán uno, con lo que
|v|=sqrt(vx^2+vy^2)=1-->vx^2+vy^2=1
|w|=sqrt(wx^2+wy^2)=1-->wx^2+wy^2=1
La diferencia será
v-w=(vx,vy)-(wx,wy)=(vx-wx,vy-wy)
Y sú módulo será
|v-w|=sqrt[(vx-wx)^2+(vy-wy)^2]
|v-w|=sqrt[vx^2-2*vx*wx+wx^2+vy^2-2*vy*wy+wy^2]
|v-w|=sqrt[vx^2+vy^2+wx^2+wy^2-2*vx*wx-2*vy*wy]
Pero como
vx^2+vy^2=wx^2+wy^2=1
|v-w|=sqrt[1+1-2*vx*wx-2*vy*wy]
|v-w|=sqrt[2-2*vx*vy-2*wx*wy]
|v-w|=sqrt[2*(1-vx*vy-wx*wy]
Y como éste módulo es sqrt(2)
sqrt[2*(1-vx*vy-wx*wy]=sqrt(2)
2*(1-vx*vy-wx*wy)=2
1-vx*vy-wx*wy=1
luego
vx*wx+vy*wy=0
Pero el término vx*wx+vy*wy es el producto escalar de v por w, y es condición necesaria y suficiente que dos vectores tengan el producto escalar nulo para que sean perpendiculares
v.w=0 <----> v y w son perpendiculares

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