Demostarción

He de demostrar que para todo natural se cumple
1+2+3+...+n=(n+1)*n/2
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Cuenta la leyenda que siendo Gauss un niño, la maestra les puso como ejercicio que sumaran todos los números del 1 al 100. Un minuto más tarde Gauss ya había realizado la suma ante el asombro de la maestra, y con un resultado correcto.
Gauss se dio cuenta que
1+100 = 2+99 = 3+98 = .... = 101
y que sólo había que multiplicar 101 * 50, pues había 50 sumas. de forma que
S = 101*50=5050
Posteriormente se desarrollaron las fórmulas de la suma de los n primeros términos de una progresión aritmética de la forma
Sn=(a1+an)*n/2
En tu caso, si consideras la progresión aritmética
(1,2,3,4,...)
o sea de término general
an = n
lo que has de demostrar es la suma de los n primeros términos de una P.A, con lo que
1+2+3+...n =
Sn = (a1+an)*n/2 =
(1+n)*n/2
Con lo cual queda demostrado.
... Continúa
De todas formas hay ota forma de demostrar ésto sin recurrir a fórmulas de progresiones.
Con el método de inducción para demostrar cualquier relación que se cumpla para todos los naturales, basta con hacer
1º Demostrar que se cumple para n=1
2º Suponer que se cumple para n y demostrar que se cumple para n+1
De esta forma, si se cumple para n=1, aplicando 2º se cumplirá para 1+1=2. Si se cumple para n=2, se cumpluirá para 2+1=3, y así sucesivamente
1º n=1
1=(1+1)*1/2
1=1
con lo cual se cumple
2º Supongamos que se cumple para n, o sea
1+2+3+..+n = (n+1)*n/2
Hemos de demostrar que
1+2+3+...+n+n+1 = (n+2)*(n+1)/2
1+2+3+...+n+n+1=
(n+1)*n/2 + n+1
[(n+1)*n + 2(n+1)]/2
[n^2 + n + 2*n + 2]/2
[n^2 + 3*n + 2]/2
Factorizando
n^2 + 3*n + 2 = (n+1)*(n+2)
con lo que
1+2+3+...+n+n+1=
(n+1)*(n+2)/2
Con lo que queda demostrado por inducción.

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