Duda con un teorema de límites

:)

Hola Valeroasm!
Si pero distinto de cero entonces
lim(x tiende a xo)[f(x)]=lim(x tiende a 1)[f(x.xo)]
Demostración:
(El delta para el límite del sgundo miembro tómese como d1=d/|xo|)
Dado e>0, existe al menos un d>0 tal que[Para todox E Domf ^0<|x-xo|<d]
entonces|f(x)-L|<e:
Haciendo h=x/xo se transforma en :
[Para todo x E Domf^0<|h.xo-xo|<d
si y sólosi 0<|xo(h-1)|<d
si y sólo si 0<|h-1|<d/|xo|=d1 entonces |f(xo.h)-L|<e]
Lim(x tiende a xo)[f(x)]=lim(h tiende a 1)[f(xo.h)]=lim(x tiende a 1)[f(x.xo)]
Primeramente quiero que me digas si mi demostración es correcta. Si lo es entonces contesta la siguiente duda y si no dime por qué.
Recordemos la definición de límite:
Para cada e>0, existe al menos un d>0 tal que:(Sea pero un punto de acumulación del Domf)
[Para todo x E Domf ^0<|x-xo|<d entonces 0<|f(x)-L|<e]
Segun esto decimos lim(x tiende a xo)[f(x)]=L [[¿Es así la definicion?]]
Retornemos al problema:
[Para todo x E Domf^0<|h-1|<d/|xo|=d1 entonces |f(xo.h)-L|<e]
A partir de aquí concluímos lim(h tiende a 1)[f(xo.h)]=L.
Pero lo más correcto no sería decir:
[Para todo h E Domf^0<|h-1|<d/|xo|=d1 entonces |f(xo.h)-L|<e] para concluir lim(h tiende a 1)[f(xo.h)]=L
¿Qué opinas? (Entonces si lo que está sombreado sería correcto y la primera conclusión no,¿cómo demuestras este teorema de forma rigurosa?)
Saludos.

La elección del delta está bien pero le falta la rigurosidad que decías. Por lo que veo ahora tendremos que empezar siempre suponiendo que pero sea punto de acumulación de Dom f.
Llamemos función fo(y) a la que tiene por valor f(y·pero)
Supongamos que lim x-->xo de f(x) = L.
Vamos a demostrar que lim y-->1 fo(y) = L
Dado un e > 0 existe un d>1 tal que para todo por € Dom f^0<|x-xo|<d se cumple |f(x)-L|<e
tomemos d1= d/|xo|, es posible porque xo <> 0
(<> ó >< es distinto en varios lenguajes de programación)
Si y cumple y€Dom fo ^ 0<|y-1|<d1 <==> multiplicando por |xo|
0 < |y-1||xo| < d1 |xo| <==> 0 < |y·xo - xo| < d ==> |f(y·xo) - L| < e ==>
|fo(y) - L| < e
Luego lim y-->1 de fo(y) = L también.
Ahora lo podemos demostrar al revés.
Sea lim x-->1 de f(x·xo) = L
Demostrar que lim y-->0 de f(y) = L
Dado e > 0 existe d > 0 tal que para todo x E dom fo ^ 0<|x-1|<d se cumple
|fo(y) - L|<e
Tomamos d1 = d · |xo|
Si y cumple y € Dom f ^ 0<|y-xo|<d1 <==> dividiendo por |xo|
0<|y-xo| / |xo| < d1/|xo| <==> 0 <|y/xo - 1|< d ==> |fo(y/xo) - L| < e ==>
|f((y/xo)·xo) - L| < e ==> |f(y) - L | <e ==>
lim y-->xo de f(y) = L también.
Y eso es todo. Mira a ver si te convenció la demostración y así no te quedamn dudas.