Problemas con las funciones matemáticas

Lamentablemente el símbolo de pertenece se lo come el editor este. Yo uso las palabras "pertenece a" o la preposición "de" para suplirlo, pero se echa en falta. Si se dice antes, podría usarse la letra E como lo más pareceido a ese símbolo y siempre que no conduzca a confusión. En Europa (en America no lo sé) podríamos usar el símbolo del euro €, no sé si se verá bien, cuando mande la respuesta lo sabré.
Otra cosilla que me creaba mucha confusión en tu escrito es el "tal que", para el que se usa | y no la barra de cociente /.
Finalmente, tampoco se usa mucho el conector ^, se reserva más para indicar "elevado al (a la)" que como conjunción y. Se usa la conjunción "y" para dejarlo bien claro o el punto y coma. Aunque si lo veo útil cuando se este usando una variable y para distinguir perfectamente la variable de la conjunción.
Por lo dicho hasta ahora, al principio me pareció un galimatías lo que ponías y no lograba entenderlo.
1)
Advirtiendo que usaré E como "pertenece a" yo lo habría escrito así. Que no quiere decir que lo tuyo esté mal.
Dom fog = {x | x E Dom g; g(x) E Dom f}
Dom (fog)oh =
{x | x E Dom h; h(x) E Dom fog} =
{x | x E Dom h; h(x) E Dom g; g(h(x)) E Dom f} =
{x | x E Dom h; h(x) E Dom g; goh(x) E Dom f} =
por definición, las dos primeras condiciones son las de x E Dom goh
{x | x E Dom goh; goh(x) E Dom f} =
Dom fo(goh)
Luego demostraría que la regla de correspodencia es la misma:
Partiendo de la definición
fog(x) = f(g(x))
tendríamos
(fog)oh(x) = fog(h(x) = f(g(h(x)))
fo(goh)(x) = f(goh(x)) = f(g(h(x)))
luego (fog)oh y fo(goh) tienen la misma regla de correspondencia.
2)
Demostramos que foI y f tienen el mismo dominio:
Dom foI = {x | x E Dom I; I(x) E Dom f} =
Como I(x) = x para todo x
{x | x E Dom I; x E Dom f} =
Como el dominio de I es todo R la intersección es el Dom f
{x | x E Dom f} = Dom f
Y ahora que Iof y f tienen el mismo dominio:
Dom Iof = {x | x E Dom f; f(x) E Dom I} =
Como el dominio de I es todo R, cualquier por que cumpla la primera condición cumplirá la segunda. Por eso puede suprimirse la segunda.
{x | x E Dom f} = Dom f
Y ahora demostramos que la regla de correspondencia es la misma.
foI(x) = f(I(x) = f(x)
Iof(x) =I(f(x) = f(x)
Luego queda demostrado que foI = f = Iof
Supongamos que existiera una funcion g tal que fog = gof = f para toda función f.
Entonces debería cumplirlo también aplicandolo a la función identidad
Iog(x) = I(x) ==>
I(g(x)) = I(x) ==>
g(x) = I(x)
Con eso queda demostrado que la identidad es laúnica función que cumple foI = f = Iof para toda función f.
3) (f+g)oh = foh + goh
Dom (f+g)oh = {x | x E Dom h; h(x) E Dom (f+g)} =
como Dom(f+g) = (Dom f) n (Dom g) donde n es la intersección
= {x | x E Dom h; h(x) E Dom f; h(x) E Dom g}
Dom foh + goh = {x | x E Dom h; h(x) E Dom f} n {x | x E Dom h; h(x) E Dom g} =
= {x | x E Dom h; h(x) E Dom f; h(x) E Dom g}
Luego los dominios son iguales. Y las reglas de correspondencia
(f+g)oh(x) =(f+g)(h(x)) = f(h(x)) + g(h(x))
foh(x) + goh(x) = f(h(x)) + g(h(x))
son iguales, luego (f+g)oh = foh + goh
4)(f·g)oh=(foh)·(goh)
La demostración es completamente igual que para la suma pero con el signo de multiplicación · en lugar del +.
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Perdona que lo haya hecho todo de un tirón. Pero es que esta materia no es una cosa que se recuerde para toda la vida, por eso me ha costado bastante razonar para escribir lo que he escrito.
Ahora si sigues teniendo alguna duda plantéamela. Aunque bastantes de las que ponías en la primera redacción no llegaba a entender el qué preguntabas.
¿Con variación quieres decir la imagen?
La imagen es (0, +infinito) porque
a) El lim por -->-infinito de f(x) es cero ya que sqrt(x^2+9) > |x| para todo x
b) El lim x -->+ infinito de f(x) es +infinito
c) la derivada que es f'(x) = 1 + x / sqrt(x+9) es siempre positiva. Y es positiva por lo mismo que en a, como sqrt(x^2+9) > |x| el cociente siempre tendrá un valor menor que 1 y la derivada nunca valdra menos de cero. Por tanto la función f(x) será siempre creciente.
d) Es continua.
Y por todo esto tomara todos los valores entre cero y +infinito. No tomará valores negativos porque nunca decrece.
Y esto es todo. Ahora tengo que ir a dormir que mañana tengo que madrugar. Si tienes alguna duda ya contestaré mañana.