Solución de problemas de ecuaciones de la recta
Estimado experto:
Soy constancita y te agradezco mucho tu ayuda.
Tengo dos problemas:
1.-Hallar la pendiente y el corte en el eje de las rectas que se describen a continuación:
-La ecuación es x+3y+2=0
-Contiene los puntos (-3,2) (2,-3)
-Contiene el punto (-2,1) que pasa por el orgien
2.- 10 kilos de huevo y 4 kilos de jitomate cuestan $62.00: 3 kilos de huevo y 5 kilos de jitomate cuestan $30.00 ¿Cuánto cuesta un kilo de jitomate? ¿Cuánto cuesta un kilo de huevo?
Mil gracias por tu ayuda y perdona la molestia
Soy constancita y te agradezco mucho tu ayuda.
Tengo dos problemas:
1.-Hallar la pendiente y el corte en el eje de las rectas que se describen a continuación:
-La ecuación es x+3y+2=0
-Contiene los puntos (-3,2) (2,-3)
-Contiene el punto (-2,1) que pasa por el orgien
2.- 10 kilos de huevo y 4 kilos de jitomate cuestan $62.00: 3 kilos de huevo y 5 kilos de jitomate cuestan $30.00 ¿Cuánto cuesta un kilo de jitomate? ¿Cuánto cuesta un kilo de huevo?
Mil gracias por tu ayuda y perdona la molestia
1 respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
1
La pendiente de una recta se define como el cociente entre el incremento de "y" y el incremento de x.
Para calcularla de una forma genérica tomemos una recta de ecuación
Ax + By +C = 0
puesta en forma de función será y = f(x) = (-Ax - C) / B
y la evaluaremos en dos puntos x1 y x2
f(x1) = (-Ax1 - C) / B
f(x2) = (-Ax2 - C)/ B
[incremento de y ó f(x)] = f(x2) - f(x1) = [(-Ax2 - C) / B] - [(-Ax1 - C) / B] =
(-Ax2 - C + Ax1 + C) / B = (-Ax2 + Ax1) / B = (-A/B)(x2 - x1)
incremento de x = x2 - x1
pendiente = [incremento de y] / [incremento de x] = (-A/B)(x2-x1) / (x2-x1) = -A/B
Esa es la deducción. Suele usarse, porque es más fácil de recordar, que la pendiente es el coeficiente de la x cuando a la izquierda esta la "y" sola, sin otro coeficiente que el 1 que se sobreentiende.
Es decir, cuando la recta tiene la forma:
y = px + m
La pendiente es p.
----
Hablas del corte en el eje, no especificas si el corte con el eje X o el eje Y. Lo haremos para los dos. El corte con el eje X será el punto en el que y = 0. El corte con el eje Y viceversa, el punto en el que x = 0. Sin perjuicio de las rectas x=0 ó y=0 que tienen infinitos puntos de corte por coincidir con uno de los ejes.
Si tenemos la recta en la forma
y = px + m
el corte con el eje Y se calcula poniendo x = 0, luego
y = p·0 + m = m
El punto de corte con el eje Y es (0, m)
Para calcular el corte con el eje X hay que hacer y = 0, entonces:
0 = px + m
px = -m
x = -m/p
El punto de corte con el eje X es (-m/p, 0)
-----
También necesitaremos la ecuación de una recta que pasa por dos puntos p1=(x1,y1) y p2=(x2,y2). Es esta:
(y-y1) / (y2-y1) = (x-x1) / (x2-x1)
O la ecuación de una recta que tiene pendiente p y pasa por el punto (x1,y1), es esta:
y - y1 = p(x-x1)
Ambas podrían ponerse con la y despejada y se facilitarían algunas operaciones posteriores, pero el consenso de los autores ha sido expresarlas mayoritariamente así.
-----------------------------------------------------------
¿Mucho rollo verdad? Vamos a resolverlo ya
a)x + 3y + 2 = 0
A = 1, B=3, C =2
pendiente = -A/B = -1/3
o si no te acuerdas de esta fórmula, hazlo como el coeficiente p de y = px + m
x + 3y + 2= 0
3y = -x -2
y = -x/3 - 2/3
la pendiente es -1/3
El corte con el eje Y lo sacamos de
y = -x/3 - 2/3
haciendo x=0
y = -0/3 - 2/3 = -2/3
El corte con el eje Y es (0, -2/3)
Para el corte el eje X es más sencillo tomar
x + 3y + 2 = 0
x = -3y -2
sustituimos y =0
x = -3·0 - 2 = -2
El corte con el eje X es (-2, 0)
-----------
b) Calculamos la pendiente por la definición de incremento de "y" entre incremento de x. Tomamos los incrementos entre esos puntos:
(x1,y1) = (-3,2) ==> x1=-3 ; y1=2
(x2,y2) = (2,-3) ==> x2=2 ; y2=-3
pendiente = (y2-y1) / x2-x1) = (-3 -2) / (2 -(-3)) = -5/(2+3) = -5/5 = -1
La ecuación de la recta con pendiente -1 pasando por (-3,2) es
y - 2 = -1(x - (-3))
y = -x - 3 + 2
y = - x - 1
Cuando x = 0 ==>
y = -0 -1 = - 1
corte con el eje Y = (0, -1)
Cuando y = 0 ==>
0 = -x -1 ==>
x = -1
corte con el eje X = (-1,0)
------------
c) contiene el punto (-2,1) que pasa por el origen.
Es decir, que pasa por ese punto y por el origen que es el (0,0). Es como el ejercicio anterior pero aún más fácil
(x2,y2) = (-2, 1)
(x1,y1) = (0,0)
pendiente = (1 - 0) / (-2 - 0) = 1/(-2) = -1/2
La recta con pendiente -1/2 pasando por (0,0) es
y - 0 =-1/2(x-0)
y = -x/2
El corte con el eje X es el mismo que con el Y. Es el punto (0,0)
-----------------------------------------------------------------------------------------
2) 10 kilos de huevo y 4 kilos de jitomate cuestan $62.00: 3 kilos de huevo y 5 kilos de jitomate cuestan $30.00 ¿Cuánto cuesta un kilo de jitomate? ¿Cuánto cuesta un kilo de huevo?
Sea x el precio de un kg de huevos e "y" el precio de un kg de tomate
(Qué raro, aquí los huevos se venden por docenas, nunca por el peso)
10x + 4y = 62
3x + 5y = 30
Usaremos el método de sustitución
10x = 62 - 4y
x = (62 - 4y) /10
llevamos esto a la segunda ecuación
3(62-4y)/10 + 5y = 30
ponemos denominador común 10
[3(62-4y) + 10·5y] / 10 = 30
3(62-4y) + 10·5y = 30·10
186 - 12y + 50 y = 300
38y = 300 -186 = 114
y = 114 / 38 = 3$
Y ahora volvemos a la ecuación donde habíamos despejado antes la x
x = (62 - 4y) /10 = (62 - 4·3) /10 = (62 - 12) / 10 = 50 / 10 = 5$
Luego el kg de huevos cuesta 5$ y el kg te tomates 3$
Y eso es todo. No es para tanto, lo que pasa es que enrolle demasiado. Espero que te sirva y lo hallas entendido. No olvides puntuar para cerrar la pregunta.
Para calcularla de una forma genérica tomemos una recta de ecuación
Ax + By +C = 0
puesta en forma de función será y = f(x) = (-Ax - C) / B
y la evaluaremos en dos puntos x1 y x2
f(x1) = (-Ax1 - C) / B
f(x2) = (-Ax2 - C)/ B
[incremento de y ó f(x)] = f(x2) - f(x1) = [(-Ax2 - C) / B] - [(-Ax1 - C) / B] =
(-Ax2 - C + Ax1 + C) / B = (-Ax2 + Ax1) / B = (-A/B)(x2 - x1)
incremento de x = x2 - x1
pendiente = [incremento de y] / [incremento de x] = (-A/B)(x2-x1) / (x2-x1) = -A/B
Esa es la deducción. Suele usarse, porque es más fácil de recordar, que la pendiente es el coeficiente de la x cuando a la izquierda esta la "y" sola, sin otro coeficiente que el 1 que se sobreentiende.
Es decir, cuando la recta tiene la forma:
y = px + m
La pendiente es p.
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Hablas del corte en el eje, no especificas si el corte con el eje X o el eje Y. Lo haremos para los dos. El corte con el eje X será el punto en el que y = 0. El corte con el eje Y viceversa, el punto en el que x = 0. Sin perjuicio de las rectas x=0 ó y=0 que tienen infinitos puntos de corte por coincidir con uno de los ejes.
Si tenemos la recta en la forma
y = px + m
el corte con el eje Y se calcula poniendo x = 0, luego
y = p·0 + m = m
El punto de corte con el eje Y es (0, m)
Para calcular el corte con el eje X hay que hacer y = 0, entonces:
0 = px + m
px = -m
x = -m/p
El punto de corte con el eje X es (-m/p, 0)
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También necesitaremos la ecuación de una recta que pasa por dos puntos p1=(x1,y1) y p2=(x2,y2). Es esta:
(y-y1) / (y2-y1) = (x-x1) / (x2-x1)
O la ecuación de una recta que tiene pendiente p y pasa por el punto (x1,y1), es esta:
y - y1 = p(x-x1)
Ambas podrían ponerse con la y despejada y se facilitarían algunas operaciones posteriores, pero el consenso de los autores ha sido expresarlas mayoritariamente así.
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¿Mucho rollo verdad? Vamos a resolverlo ya
a)x + 3y + 2 = 0
A = 1, B=3, C =2
pendiente = -A/B = -1/3
o si no te acuerdas de esta fórmula, hazlo como el coeficiente p de y = px + m
x + 3y + 2= 0
3y = -x -2
y = -x/3 - 2/3
la pendiente es -1/3
El corte con el eje Y lo sacamos de
y = -x/3 - 2/3
haciendo x=0
y = -0/3 - 2/3 = -2/3
El corte con el eje Y es (0, -2/3)
Para el corte el eje X es más sencillo tomar
x + 3y + 2 = 0
x = -3y -2
sustituimos y =0
x = -3·0 - 2 = -2
El corte con el eje X es (-2, 0)
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b) Calculamos la pendiente por la definición de incremento de "y" entre incremento de x. Tomamos los incrementos entre esos puntos:
(x1,y1) = (-3,2) ==> x1=-3 ; y1=2
(x2,y2) = (2,-3) ==> x2=2 ; y2=-3
pendiente = (y2-y1) / x2-x1) = (-3 -2) / (2 -(-3)) = -5/(2+3) = -5/5 = -1
La ecuación de la recta con pendiente -1 pasando por (-3,2) es
y - 2 = -1(x - (-3))
y = -x - 3 + 2
y = - x - 1
Cuando x = 0 ==>
y = -0 -1 = - 1
corte con el eje Y = (0, -1)
Cuando y = 0 ==>
0 = -x -1 ==>
x = -1
corte con el eje X = (-1,0)
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c) contiene el punto (-2,1) que pasa por el origen.
Es decir, que pasa por ese punto y por el origen que es el (0,0). Es como el ejercicio anterior pero aún más fácil
(x2,y2) = (-2, 1)
(x1,y1) = (0,0)
pendiente = (1 - 0) / (-2 - 0) = 1/(-2) = -1/2
La recta con pendiente -1/2 pasando por (0,0) es
y - 0 =-1/2(x-0)
y = -x/2
El corte con el eje X es el mismo que con el Y. Es el punto (0,0)
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2) 10 kilos de huevo y 4 kilos de jitomate cuestan $62.00: 3 kilos de huevo y 5 kilos de jitomate cuestan $30.00 ¿Cuánto cuesta un kilo de jitomate? ¿Cuánto cuesta un kilo de huevo?
Sea x el precio de un kg de huevos e "y" el precio de un kg de tomate
(Qué raro, aquí los huevos se venden por docenas, nunca por el peso)
10x + 4y = 62
3x + 5y = 30
Usaremos el método de sustitución
10x = 62 - 4y
x = (62 - 4y) /10
llevamos esto a la segunda ecuación
3(62-4y)/10 + 5y = 30
ponemos denominador común 10
[3(62-4y) + 10·5y] / 10 = 30
3(62-4y) + 10·5y = 30·10
186 - 12y + 50 y = 300
38y = 300 -186 = 114
y = 114 / 38 = 3$
Y ahora volvemos a la ecuación donde habíamos despejado antes la x
x = (62 - 4y) /10 = (62 - 4·3) /10 = (62 - 12) / 10 = 50 / 10 = 5$
Luego el kg de huevos cuesta 5$ y el kg te tomates 3$
Y eso es todo. No es para tanto, lo que pasa es que enrolle demasiado. Espero que te sirva y lo hallas entendido. No olvides puntuar para cerrar la pregunta.
