Problemas de estadística!
Encuentre el área bajo la curva normal entre (a)z= ? 1.20 y z= 2.40, (b) Z = 1.23 y z= 1.87, (c)z -2.35 y z = ? 0.50.
Si el largo de 300 varillas tiene distribución normal con media 68.0 centímetros y desviación estándar 3.0 centímetros. ¿Cuántas varillas tendrán largo (a) mayor de 72 centímetros, (b) menor o igual a 64 centímetros, (c) entre 65 y 71 centímetros, inclusive (d) igual a 68 centímetros? Suponga que las medidas se anotaron aproximando al centímetro más cercano.
Si el largo de 300 varillas tiene distribución normal con media 68.0 centímetros y desviación estándar 3.0 centímetros. ¿Cuántas varillas tendrán largo (a) mayor de 72 centímetros, (b) menor o igual a 64 centímetros, (c) entre 65 y 71 centímetros, inclusive (d) igual a 68 centímetros? Suponga que las medidas se anotaron aproximando al centímetro más cercano.
1 Respuesta
Respuesta de Fran José García
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Encuentre el área bajo la curva normal entre (a)z= ? 1.20 y z= 2.40, (b) Z = 1.23 y z= 1.87, (c)z -
2.35 y z = ? 0.50
Se me colaron los signos.
Y gracias por la ayuda!
2.35 y z = ? 0.50
Se me colaron los signos.
Y gracias por la ayuda!
A ver, estás copiando y pegango algo,
No pongas símbolos raros porque se ven como interrogantes
No pongas símbolos raros porque se ven como interrogantes
Te contesto al segundo ejercicio que no tenemos problemas con símbolos que no se ven XD
Tenemos una distribución Normal de media 68 y desviación típica 3, es decir, una N(68,9)
He puesto 9, porque mi notación suele ser N(media, varianza),
ahora llamamos POR, a la variable aleatoria
X = Largo de las varillas en centímetros
Nos piden
a) Número de varillas con largo mayor que 72 centímetros.
Pues, es sencillo calculamos la siguiente probabilidad
P[X > 72], esto lo debemos entender como, "Probabilidad de que el largo de las varillas sea superior a 72".
Calculamos esa probabilidad
P[X >72] = P[(X-68)/3 > (72 - 68)/3] = P[Z > 1.3333]
Hemos tipidicado, porque los valores de la Normal, que tenemos en las tablas son de la N(0,1), entonces miramos en las tablas y vemos que
P[Z > 1.3333] = 0.091211
Entonces el número de varillas es, 0.091211·300 = 27.36337 varillas.
En el caso de que los cálculos de las probabilidades los hagas con un ordenador, no es necesario que tipifiques, porque tu le indicas la media y la varianza, pero te aconsejo que lo hagas así siempre para coger práctica.
b) Número de varillas con largo inferior a 64 centímetros
P[X < 64] = P[Z < (64-68)/3] = P[Z < -1.3333] = P[Z > 1.3333] = 0.091211
Llegamos al mismo resultado, hemos utilizado la propiedad de simetría de la distribución Normal que es
P[X > m] = P[X < -m]
c)Número de varillas con diámetros entre 65 y 71 centímetros
P[65 < X < 71] = P[X < 71] - P[X < 65] = P[Z < 1] - P[Z < -1] = P[Z < 1] - P[Z > 1] = P[Z < 1] - (1 - P[Z < 1])=
= 2·P[Z < 1] - 1 = 2·0.8413447 - 1 = 0.6826895
Entonces
0.6826895·300 = 204.8068
d)Número de varillas con exactamente 68 centímetros
En este caso, pensarás que es calculando
P[X = 68], pero para tu sorpresa, P[X = 68] = 0,
Esto ocurre porque la variable con la que estamos trabajando es continua, y la probabilidad en un punto de una distribución continua es 0.
Entonces lo que se suele hacer, es realizar una corrección por continuidad, lo más usual es sumar y restar un valor pequeño a la variable, ese valor se suele coger 0.5, entonces nos quedaría
P[67.5 < X < 68.5] = P[X < 68.5] - P[X < 67.5] = P[Z < 0.1666667] - P[Z < -0.1666667] = 2·P[Z < 0.166667] - 1=
= 2·0.5661838 - 1 = 0.1323677
Para que lo entiendas que esto no es tan descabellado, lee la última frase del ejercicio
"Suponga que las medidas se anotaron aproximando al centímetro más cercano"
Entonces las varillas que han tenido un largo de más de 67.5 y menor de 68.5, se les ha puesto un largo de 68.
Ahora solo queda multiplicar ese valor por 300 y tienes que aproximadamente 39.7103 varillas tienen un largo de 68 centímetros.
Tenemos una distribución Normal de media 68 y desviación típica 3, es decir, una N(68,9)
He puesto 9, porque mi notación suele ser N(media, varianza),
ahora llamamos POR, a la variable aleatoria
X = Largo de las varillas en centímetros
Nos piden
a) Número de varillas con largo mayor que 72 centímetros.
Pues, es sencillo calculamos la siguiente probabilidad
P[X > 72], esto lo debemos entender como, "Probabilidad de que el largo de las varillas sea superior a 72".
Calculamos esa probabilidad
P[X >72] = P[(X-68)/3 > (72 - 68)/3] = P[Z > 1.3333]
Hemos tipidicado, porque los valores de la Normal, que tenemos en las tablas son de la N(0,1), entonces miramos en las tablas y vemos que
P[Z > 1.3333] = 0.091211
Entonces el número de varillas es, 0.091211·300 = 27.36337 varillas.
En el caso de que los cálculos de las probabilidades los hagas con un ordenador, no es necesario que tipifiques, porque tu le indicas la media y la varianza, pero te aconsejo que lo hagas así siempre para coger práctica.
b) Número de varillas con largo inferior a 64 centímetros
P[X < 64] = P[Z < (64-68)/3] = P[Z < -1.3333] = P[Z > 1.3333] = 0.091211
Llegamos al mismo resultado, hemos utilizado la propiedad de simetría de la distribución Normal que es
P[X > m] = P[X < -m]
c)Número de varillas con diámetros entre 65 y 71 centímetros
P[65 < X < 71] = P[X < 71] - P[X < 65] = P[Z < 1] - P[Z < -1] = P[Z < 1] - P[Z > 1] = P[Z < 1] - (1 - P[Z < 1])=
= 2·P[Z < 1] - 1 = 2·0.8413447 - 1 = 0.6826895
Entonces
0.6826895·300 = 204.8068
d)Número de varillas con exactamente 68 centímetros
En este caso, pensarás que es calculando
P[X = 68], pero para tu sorpresa, P[X = 68] = 0,
Esto ocurre porque la variable con la que estamos trabajando es continua, y la probabilidad en un punto de una distribución continua es 0.
Entonces lo que se suele hacer, es realizar una corrección por continuidad, lo más usual es sumar y restar un valor pequeño a la variable, ese valor se suele coger 0.5, entonces nos quedaría
P[67.5 < X < 68.5] = P[X < 68.5] - P[X < 67.5] = P[Z < 0.1666667] - P[Z < -0.1666667] = 2·P[Z < 0.166667] - 1=
= 2·0.5661838 - 1 = 0.1323677
Para que lo entiendas que esto no es tan descabellado, lee la última frase del ejercicio
"Suponga que las medidas se anotaron aproximando al centímetro más cercano"
Entonces las varillas que han tenido un largo de más de 67.5 y menor de 68.5, se les ha puesto un largo de 68.
Ahora solo queda multiplicar ese valor por 300 y tienes que aproximadamente 39.7103 varillas tienen un largo de 68 centímetros.
Encuentre el área bajo la curva normal entre (a)z= -1.20 y z= 2.40, (b) Z = 1.23 y z= 1.87, (c)z -2.35 y z = - 0.50
ya le quite los signos de ? son signos menos
ya le quite los signos de ? son signos menos
Ah vale, es raro que ponga los signos menos como interrogantes, por eso no sabía que podía ser.
En este ejercicio te piden calcular unas cuantas probabilidades, pero de la N(0,1), así que no hay que tipificar, únicamente tenemos que buscar en la tabla.
No se que tipo de tablas tendrás, si de colas a la derecha o a la izquierda, no se porqué las tablas de los estudiantes de grado en estadística nos ponen tablas a la derecha y al resto de carreras que tienen alguna asignatura tienen colas a la izquierda.
Para saber que tipo de tabla tienes arriba en la tabla o abajo te lo tiene que poner, o bien con un dibujito que vendrá coloreada un área, pues según sea la de la derecha o izquierda tienes una tabla u otra.
Si no te pondrá algo así
P[Z < z] = p
o así P[Z > z] = p
la primera es cola a la izquierda y la segunda cola a a la derecha.
Lo que si está claro que sea cual sea la tabla lo más no normal es que únicamente te vengan valores positivos. Así, que las probabildiades para valores negativos las tendremso que calcular como valores positivos. Voy a considerar una tabla de colas a la derecha, es decir, calcula la probabilidad que han por encima de ese valor.
Aquí tienes una tabla
http://www.unlu.edu.ar/~mapco/apuntes/630/mapco630.htm
Así puedes ir mirando conforme vamos calculando,
Entonces
a) P[-1.20 < Z < 2.40] = P[Z < 2.40] - P[Z < -1.20]
como el valor -1.20 no lo tenemos en la tabla lo ponemos positivo
P[Z < 2.40] - P[Z < -1.20] = P[Z < 2.40] - P[Z > 1.20]
Ahora como nuestra tabla calcula probabilidades del tip P[Z > z], vamos a ponerlas todas así
P[Z < 2.40] - P[Z > 1.20] = 1 - P[Z > 2.40] - P[Z > 1.20]
miramos en la tabla, la columna más a la izquierda nos indica el número que queremos buscar con un decimal y la primera fila nos indica el segundo decimal, así
P[Z > 2.40] = {cogemos la fila del 2.40 y la columna del 0.00 , porque 2.40 + 0.00 = 2.40} = 0.0082
el valor calculado con ordenador es 0.008197536
Calculamos el resto, todos se han igual, entre llaves{}, te pondré el valor calculado con ordenador
P[Z > 1.20] = 0.1151{0.1150697}
entonces
P[-1.20 < Z < 2.40] = 1 - P[Z > 2.40] - P[Z > 1.20] = 1-0.0082 - 0.1151 = 0.8767 {0.8767328}
b)
P[1.23 < Z < 1.83] = P[Z < 1.83] - P[Z < 1.23] = 1 - P[Z > 1.83] -1 + P[Z > 1.23] =
P[Z > 1.23] - P[Z > 1.83] = 0.1093 - 0.0336 = 0.0757 {0.1093486 - 0.03362497 = 0.07572358}
c)
P[-2.35 < Z < -0.5] = P[Z < -0.5] - P[Z < -2.35] = P[Z > 0.5] - P[Z > 2.35]= 0.3085 - 0.0094 = 0.2991 {0.3085375 - 0.009386706=0.2991508}
Bueno eso es todo.
En este ejercicio te piden calcular unas cuantas probabilidades, pero de la N(0,1), así que no hay que tipificar, únicamente tenemos que buscar en la tabla.
No se que tipo de tablas tendrás, si de colas a la derecha o a la izquierda, no se porqué las tablas de los estudiantes de grado en estadística nos ponen tablas a la derecha y al resto de carreras que tienen alguna asignatura tienen colas a la izquierda.
Para saber que tipo de tabla tienes arriba en la tabla o abajo te lo tiene que poner, o bien con un dibujito que vendrá coloreada un área, pues según sea la de la derecha o izquierda tienes una tabla u otra.
Si no te pondrá algo así
P[Z < z] = p
o así P[Z > z] = p
la primera es cola a la izquierda y la segunda cola a a la derecha.
Lo que si está claro que sea cual sea la tabla lo más no normal es que únicamente te vengan valores positivos. Así, que las probabildiades para valores negativos las tendremso que calcular como valores positivos. Voy a considerar una tabla de colas a la derecha, es decir, calcula la probabilidad que han por encima de ese valor.
Aquí tienes una tabla
http://www.unlu.edu.ar/~mapco/apuntes/630/mapco630.htm
Así puedes ir mirando conforme vamos calculando,
Entonces
a) P[-1.20 < Z < 2.40] = P[Z < 2.40] - P[Z < -1.20]
como el valor -1.20 no lo tenemos en la tabla lo ponemos positivo
P[Z < 2.40] - P[Z < -1.20] = P[Z < 2.40] - P[Z > 1.20]
Ahora como nuestra tabla calcula probabilidades del tip P[Z > z], vamos a ponerlas todas así
P[Z < 2.40] - P[Z > 1.20] = 1 - P[Z > 2.40] - P[Z > 1.20]
miramos en la tabla, la columna más a la izquierda nos indica el número que queremos buscar con un decimal y la primera fila nos indica el segundo decimal, así
P[Z > 2.40] = {cogemos la fila del 2.40 y la columna del 0.00 , porque 2.40 + 0.00 = 2.40} = 0.0082
el valor calculado con ordenador es 0.008197536
Calculamos el resto, todos se han igual, entre llaves{}, te pondré el valor calculado con ordenador
P[Z > 1.20] = 0.1151{0.1150697}
entonces
P[-1.20 < Z < 2.40] = 1 - P[Z > 2.40] - P[Z > 1.20] = 1-0.0082 - 0.1151 = 0.8767 {0.8767328}
b)
P[1.23 < Z < 1.83] = P[Z < 1.83] - P[Z < 1.23] = 1 - P[Z > 1.83] -1 + P[Z > 1.23] =
P[Z > 1.23] - P[Z > 1.83] = 0.1093 - 0.0336 = 0.0757 {0.1093486 - 0.03362497 = 0.07572358}
c)
P[-2.35 < Z < -0.5] = P[Z < -0.5] - P[Z < -2.35] = P[Z > 0.5] - P[Z > 2.35]= 0.3085 - 0.0094 = 0.2991 {0.3085375 - 0.009386706=0.2991508}
Bueno eso es todo.
