Problemas con álgebra lineal
Hola, mira lo que pasa es que me dajeron un taller sobre álgebra lineal, ya he desarrollado algunos ejercicios pero otros no he podido, como estos,
Metodo de eliminacion de Gaus, para encontrar todas las posibles soluciones,
1)5X-4Y-3Z=11
-7X-4y-Z=-18
2)2x-8y=6
5x-7y=-2
4X+16y=-4
Espero me puedas ayudar
Saludos
Metodo de eliminacion de Gaus, para encontrar todas las posibles soluciones,
1)5X-4Y-3Z=11
-7X-4y-Z=-18
2)2x-8y=6
5x-7y=-2
4X+16y=-4
Espero me puedas ayudar
Saludos
1 Respuesta
Respuesta de Dani BP
1
La matriz correspondiente al primer apartado seria
5 -4 -3 11
-7 -4 -1 -18
En el primer paso del método de Gauss dejamos la primera fila intacta, hemos de poner un 0 en la primera posición de la segunda fila y calcular el resto de posiciones calculando un determinante 2x2.
Para la segunda posición de la segunda fila el determinante sería
| 5 -4|
| -7 -4| = -20 -28 = -48
Para la tercera posición:
| 5 -3|
| -7 -1| = -5 -21 = -26
Y para la cuarta:
| 5 11|
| -7 -18| = -90 + 77 = -13
Por lo tanto queda
5 -4 -3 11
0 -48 -26 -13
que equivale a
5x-4y-3z=11
-48y-26z=-13
Se trata pues de un sistema compatible indeterminado (SCI) que tendrá infinitas soluciones. Para encontrarlas hacemos lo siguiente.
Despejamos y de la segunda:
y= (13-26z)/48
y sustituimos en la primera
5x -4 (13-26z)/48 -3z = 11
5x-(13-26z)/12 -3z =11
ahora multiplicamos toda la ecuación por 12:
60x-13+26z-36z=132
Despejamos x:
x = (145+10z)/60 =(29-2z)/12
z queda libre
Vayamos con el segundo apartado:
La matriz del sistema es
2 -8 6
5 -7 -2
4 16 -4
En este caso, el primer paso del método de Gauss dice hemos de fijar la primera fila, poner 0 en las posiciones (fila, columna)=(2,1) y (3,1) y calcular el resto de posiciones con el determinante 2x2:
Para la posición (2,2):
|2 -8|
|5 -7| = -14+40 = 26
para la posición (2,3):
| 2 6|
| 5 -2| = -4 - 30 = -34
para la posición (3,2):
| 2 -8|
| 4 16| = 32 + 32 = 64
para la posición (3,3):
| 2 6|
| 4 -4| = -8 - 24 = -32
Así pues después del primer paso de Gauss queda
2 -8 6
0 26 -34
0 64 -32
En el último paso se trata de fijar la segunda fila, colocar un 0 en la posición (3,2) y calcular la posición (3,3) con el determinante:
|26 -34|
|64 -32| = -832 + 2176 = 1344
Finalmente la matriz queda
2 -8 6
0 26 -34
0 0 1344
La cual cosa indica que es un sistema incompatible (no tiene solución) ya que si traducimos a ecuación la última fila obtenemos 0 = 1344 cosa que es imposible.
Espero que se entienda bien la respuesta ya que es un poco difícil explicar por aquí cosas relacionadas con matrices. Ah, y por cierto, espero también no haberme equivocado en algún cálculo; en todo caso será mejor que los revises por si acaso.
5 -4 -3 11
-7 -4 -1 -18
En el primer paso del método de Gauss dejamos la primera fila intacta, hemos de poner un 0 en la primera posición de la segunda fila y calcular el resto de posiciones calculando un determinante 2x2.
Para la segunda posición de la segunda fila el determinante sería
| 5 -4|
| -7 -4| = -20 -28 = -48
Para la tercera posición:
| 5 -3|
| -7 -1| = -5 -21 = -26
Y para la cuarta:
| 5 11|
| -7 -18| = -90 + 77 = -13
Por lo tanto queda
5 -4 -3 11
0 -48 -26 -13
que equivale a
5x-4y-3z=11
-48y-26z=-13
Se trata pues de un sistema compatible indeterminado (SCI) que tendrá infinitas soluciones. Para encontrarlas hacemos lo siguiente.
Despejamos y de la segunda:
y= (13-26z)/48
y sustituimos en la primera
5x -4 (13-26z)/48 -3z = 11
5x-(13-26z)/12 -3z =11
ahora multiplicamos toda la ecuación por 12:
60x-13+26z-36z=132
Despejamos x:
x = (145+10z)/60 =(29-2z)/12
z queda libre
Vayamos con el segundo apartado:
La matriz del sistema es
2 -8 6
5 -7 -2
4 16 -4
En este caso, el primer paso del método de Gauss dice hemos de fijar la primera fila, poner 0 en las posiciones (fila, columna)=(2,1) y (3,1) y calcular el resto de posiciones con el determinante 2x2:
Para la posición (2,2):
|2 -8|
|5 -7| = -14+40 = 26
para la posición (2,3):
| 2 6|
| 5 -2| = -4 - 30 = -34
para la posición (3,2):
| 2 -8|
| 4 16| = 32 + 32 = 64
para la posición (3,3):
| 2 6|
| 4 -4| = -8 - 24 = -32
Así pues después del primer paso de Gauss queda
2 -8 6
0 26 -34
0 64 -32
En el último paso se trata de fijar la segunda fila, colocar un 0 en la posición (3,2) y calcular la posición (3,3) con el determinante:
|26 -34|
|64 -32| = -832 + 2176 = 1344
Finalmente la matriz queda
2 -8 6
0 26 -34
0 0 1344
La cual cosa indica que es un sistema incompatible (no tiene solución) ya que si traducimos a ecuación la última fila obtenemos 0 = 1344 cosa que es imposible.
Espero que se entienda bien la respuesta ya que es un poco difícil explicar por aquí cosas relacionadas con matrices. Ah, y por cierto, espero también no haberme equivocado en algún cálculo; en todo caso será mejor que los revises por si acaso.
