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Este es el ejercicio de la Serie de Taylor de f(x) = cos(4x) en x=Pi
La fórmula de la serie de Taylor en un punto a es
$$f(x) = f(a)+f´(a)(x-a)+\frac{f´´(a)(x-a^2}{2!}+\frac{f´´´(a)(x-a)}{3!}+ ...$$Las derivadas de la función son
f '(x) = -4senx ==> f'(pi) = 0
f ''(x) = -16cosx ==> f ''(pi) = 16
f '''(x) = 64senx ==> f '''(pi) = 0
f ''''(x) = 256cosx ==> f ''''(pI)=-256
f(x) = 1 + (16/2) (x-pi)^2 - (256/24)(x-pi)^4 + (4096/6!)(x-pi)^6 +.....
El término general es
(-1)^(n/2+1)·4^n·(x-pi)^n / n! si n es par
0 si n es impar
Y la seré de McLaurin es similar pero desarrollada en el punto x=0
f(x) = f(0) + f '(0)·x + f ''(0)x^2 / 2! + f '''(0)x^3 / 6!
f '(x) = -4senx ==> f'(0) = 0
f ''(x) = -16cosx ==> f ''(0) = -16
f '''(x) = 64senx ==> f '''(0) = 0
f ''''(x) = 256cosx ==> f ''''(0)=256
f(x) = 1 - (16/2) x^2 + (256/24)x^4 - (4096/6!)x^6 +.....
El término general es
(-1)^(n/2)·4^n·x^n / n! si n es par
0 si n es impar
Y eso es todo.
