Subespacio vectorial

Al decir que es un subespacio de elementos (x, y, z) supongo que quieres decir que se trata de un subespacio vectorial del espacio vectorial de dimensión 3 formado por los vectores de la forma (x, y, z).
En este caso lo que tenemos son las ecuaciones con las condiciones que deben cumplir los elementos de ese subespacio.
x+2y=0, y-z=0, x+2z=0.
Estas ecuaciones forman un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. Se trata de un sistema homogéneo pues todas las ecuaciones están igualadas a cero. Este tipo de sistemas siempre tienen solución, al menos la solución x=0, y=0, z=0,
Nos interesan otras soluciones distintas de esa.
Haciendo la matriz de coeficientes del sistema y aplicando Gauss se ve que la última ecuación es linealmente dependiente de las anteriores y que las dos primeras son linealmente independientes.
Por tanto las ecuaciones que realmente definen el subespacio son:
x+2y=0, y-z=0.
Estas ecuaciones forman un sistema compatible indeterminado con más incógnitas que ecuaciones.
Como son 2 ecuaciones y 3 incógnitas hay una incógnita que será independiente. Hay que dejar las otras incógnitas en función de ella.
Se puede tomar cualquiera para este papel. En este caso tomamos z independiente.
Las otras dos incógnitas se expresan en función de z, obteniendo:
y=z, x=-2y=-2z.
Entonces dándole a z el valor 1, se obtiene y=1 y x=-2.
Estos valores forman el vector (x, y, z) = (-2,1,1) que constituye la base del subespacio vectorial pedido.
Si necesitas más aclaraciones no dudes en preguntar.