Ejercicio de estadística
Para conocer la distribución de las notas de los alumnos de secundaria, se encuestan 25 colegios. En total se obtienen 84 suspensos de los cuales 62 provienen de estudiantes con familias adineradas, y 642 aprobados, de los cuales provienen de familias adineradas 301. Calcule un intervalo de confianza de 90% para la diferencia entre la proporción de aprobados y suspensos para los hijos de este colectivo de la sociedad. ¿Hay una diferencia significativa entre las dos proporciones?
Seleccione una:
a. [0,184; 0,345]. No existe diferencia significativa.
b. [0,184; 0,354]. Sí existe diferencia significativa.
c. [0,127; 0,316]. No existe diferencia significativa.
d. [0,127; 0,316]. Sí existe diferencia significativa.
1 respuesta
No explica muy bien qué proporciones se deben contabilizar, una proporción es una cantidad sobre otra y aquí solo nos dicen la primera. Así que habrá que hacer "ingeniería inversa".
Como los intervalos de confianza están centrados en la diferencia de proporciones se supone que la diferencia es a) 0.2645, b) 0.269, c o d) 0.2215
La proporción de suspendidos adinerados sobre suspendidos totales es
ps = 62/84 = 0.7380952381
La proporción de aprobados adinerados sobre aprobados totales es
pa =301/642 = 0.468847352
ps-pa = 0.26924788
Pues es que no haría falta hacer nada más, solo con eso ya sabemos que la respuesta tiene que ser la b)
Pero supongo que quieres que lo hagamos como si no nos hubieran dicho las respuestas.
Tomemos la fórmula del intervalo de aquí
Intervalos de confianza
$$\begin{align}&I_{p_1-p_2}=\widehat{p}_1-\widehat{p}_2\mp z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\widehat{p}_1 \widehat{q}_1}{n_1}+\frac{\widehat{p}_2 \widehat{q}_2}{n_2}}\\ &\\ &z_{\alpha/2}=z_{0.10/2}= z_{0.05}=\\ &\\ &\text{El valor que de 0.95 en la normal}\\ &\\ &= 1.645\\ &\\ &I_{p_s-p_a}=\frac{62}{84}-\frac{301}{642}\mp 1.645 \sqrt{\frac{\frac{62}{84}· \frac{22}{84}}{84}+\frac{\frac{301}{642}·\frac{341}{642}}{642}}=\\ &\\ &\\ &0.2692478861\mp 1.645·\sqrt{0.002301317352+0.000387896437}=\\ &\\ &0.2692478861\mp 1.645\times0.05185763 =\\ &\\ &0.2692478861\mp 0.08530580135\\ &\\ &I =[0.1839420848\;,\;0.3545536874]\\ &\\ &\\ &\end{align}$$Con lo cual la respuesta es la b. Aunque otra vez han hecho mal el redondeo izquierdo, seria:
[0.184 , 0.355]
Para el contraste de dos proporciones sacaremos de aquí el estadístico de prueba
Contraste de dos proporciones.
Habla de un Delta que es la diferencia que se toma como hipótesis nula. En este caso la hipótesis nula es que no hay diferencia significativa, es decir que la diferencia es 0. Hay partes de la fórmula que ya hicimos los cálculos antes, simplemente los copiaremos
$$\begin{align}&H_0: p_a-p_s = 0\\ &H_1: p_a-p_s \neq 0\\ &\\ &Z_{exp}=\frac{\widehat{p}_s-\widehat{p}_a}{\sqrt{\frac{\widehat{p}_s \widehat{q}_s}{n_s}+\frac{\widehat{p}_a \widehat{q}_a}{n_a}}}\\ &\\ &\\ &=\frac{0.2692478861}{0.05185763}=51.92\end{align}$$Y esto debía ser menor que el z sub alfa/2 para qe no hubiera diferencia significativa
z sub 0.05 = 1.645
Como vemos 51.92 es muchísimo mayor, incluso mayor que el z sub alfa/2 para un nivel de confianza del 95%, 99% o más.
Luego la diferencia es significativa.
Y eso es todo.
