Prueba de la aguja de Buffon

No se necesita contestar, es solo para usar el editor de Látex

$$\begin{align}&4\int_0^1 arccos(1-x)dx=\\&\\&t=1-x\implies dt=-dx\\&\\&=-4\int_1^0arccos\,t\;dt=4\int_0^1arccos\;t\;dt=\\&\\&u=arccos\;t\quad\quad du=- \frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}\\&dv=dt\qquad\qquad v=t\\&\\&=4t·arccos\;t\bigg|_0^1+4\int_0^1 \frac{t}{\sqrt{1-t^2}}dt=\\&\\&0-0-4\sqrt{1-t^2}\bigg|_0^1= -0+4=4\\&\\&\text{La probabilidad total de cortar:}\\&\\&P= \frac 12·\frac {4}{2\pi}+ \frac 12·\frac {4}{2\pi}= \frac 2\pi\\&\\&\frac{cortan}{tirados}\approx P= \frac 2\pi\\&\\&\pi\approx\frac{2·tirados}{cortan}\\&\\&\\&\\&\end{align}$$