Hallar dy/dx de la función 6xy^4-y^2+4=4x-7

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Hola robertorr!

Esto se deriva implícitamente. Recuerda que y=f(x), luego al derivar la variable dependiente(y) hay que aplicar la regla de la cadena. Así:

$$\begin{align}&D(y^3)=3y^2·y'\\&\\&D(x^3)=3x^2\end{align}$$

Asimismo se han de aplicar todas las reglas de la derivación.

Y finalmente, si tenemos una igualdad, las derivadas de los dos miembros de la igualdad serán iguales.

Derivemos:

$$\begin{align}&1)\\&6xy^4-y^2+4=4x-7\\&6y^4+6x·4y^3y'-2yy'=4\\&\\&factor \ común:\\&y'(24xy^3-2y)=4-6y^4\\&\\&y'=\frac{4-6y^4}{24xy^3-2y}\\&\\&2)\\&4xy^3-5y^2=8x-y+2\\&4·y^3+4x·3y^2·y'-10y·y'=8-y'\\&\\&trasponiendo \ y \ factor\ común:\\&y'(12xy^2-10y+1)=8-4y^3\\&\\&y'=\frac{8-4y^3}{12xy^2-10y+1}\end{align}$$

en la derivación implícita las derivadas se dejan en función de x e y.

Saludos

;)

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¡Hola Roberto!

Hay que hacer la derivada de la expresión. Como y es una función de x, cuando haga falta derivarla se escribirá y'. Una vez hecho eso se despejará y'. El trabajar con dy/dx es mucho más incomodo que trabajar con y', sobre todo en el editor de fórmulas.

$$\begin{align}&1)\quad 6xy^4-y^2+4=4x-7\\&\\&6y^4+6x·4y^3y'-2yy'=4\\&\\&24xy^3y' - 2yy' = 4-6y^4\\&\\&(24xy^3 - 2y)y' = 4-6y^4\\&\\&\frac{dy}{dx}=y'= \frac{4-6y^4}{24xy^3-2y}= \frac{2-3y^4}{12xy^3-y}\\&\\&----------------\\&\\&\\&2)\quad 4xy^3-5y^2=8x-y+12\\&\\&4y^3+4x·3y^2y'-10yy'=8 - y'\\&\\&12xy^2y'-10yy'+y'=8-4y^3\\&\\&(12xy^2-10y+1)y'=8-4y^3\\&\\&\frac {dy}{dx}=y'=\frac{8-4y^3}{12xy^2-10y+1}\end{align}$$

Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido.  Recuerda valorar las respuestas con Excelente para ser atendido en futuras ocasiones.

S a l u d o s.

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