Dado el conjunto S=(V1,V2 ) donde V1=(1,1) y V2=(-1,1) Demostrar que S genera a R^2.
Dado el conjunto S=(V1,V2 ) donde V1=(1,1) y V2=(-1,1) Demostrar que S genera a R^2.
1 Respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
1
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¡Hola Laura!
Debemos ver que para cualquier elemento (a, b) de R^2 existe una combinación lineal de u1 y u2 cuyo valor es (a, b)
x·u1 + y·u2 = (a, b) con x,y de R
x(1, 1) + y(-1,1) = (a,b)
(x, x) + (-y, y) = (a, b)
(x-y, x+y)=(a, b)
Esto es un sistema de ecuaciones
x-y = a
x+y = b
el cual tiene siempre solución. Si las sumamos queda
2x = a+b
x = (a+b)/2
y si las restamos
-2y=a-b
y = (b-a)/2
Luego tomando estos dos coeficientes que hemos calculado la combinación lineal de u1 y u2 genera el elemento (a, b)
Y esto lo hace para cualquier elemento (a, b) de R^2, luego S genera R^2.
Y eso es todo.
Sa lu dos.
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