Si el límite existe y es finito, decimos que la integral impropia es convergente, donde el límite es el valor de la integral.
Si el límite no existe, decimos que la integral impropia es divergente.
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1 Respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Juan David!
Las integrales impropias son límites, lo que pasa es que es tan incomoda la notación de los límites que muchas veces no se ponen. Pero yo los pondré para que veas de lo que se trata.
$$\begin{align}&1)\quad \int_0^{\infty}e^{-x}dx=\lim_{K\to \infty} \int_0^Ke^{-x}dx=\\&\\&\lim_{K\to \infty} -e^{-x}\bigg|_0^K=\lim_{K\to \infty} (-e^{-K})+e^{-0}=0+1=1\\&\\&\\&2)\quad \int_{-8}^1 \frac{1}{\sqrt[3]x}dx=\int_{-8}^1x^{-1/3}dx =\\&\\&\text{Esta es impropia porque en 0 tiende a infinito}\\&\\&\lim_{h\to0-}\int_{-8}^h x^{-\frac 13}dx+\lim_{h\to 0+}\int^{1}_h x^{-\frac 13}dx=\\&\\&\lim_{h\to0-} \frac 32x^{2/3}\bigg|_{-8}^h +\lim_{h\to 0+}\frac 32x^{2/3}\bigg|_h^1 =\\&\\&0-\frac 32·\sqrt[3]{(-8)^2}+\frac 32-0=-\frac 32·4+\frac 32=\\&\\&-3·\frac 32=-\frac 92\\&\\&\\&3) \int_{-\infty}^{\infty}e^{-5x}dx=\lim_{K\to\infty}\int_{-K}^Ke^{-5x} dx=\\&\\&\lim_{K\to \infty}-\frac 15 e^{-5x}\bigg|_{-K}^K=-\frac 15\left(0-\infty \right)=\infty\\&\\&\text{esta es divergente}\end{align}$$:
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