Como se utilizan las particiones en las sumas de Riemann

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La suma Riemann es una suma de productos. Cada producto tiene como factores la longitud del intervalo y el valor de la función en un punto del intervalo. Lo que pasa es que hay algunas sumas de Riemann estandarizadas con longitud constante en los intervalos y con el punto de la función siendo el izquierdo, el derecho o el del centro del intervalo. Pero cada intervalo puede tener longitud distinta y el punto donde se evalúa ser uno cualquiera del intervalo.

Con los datos que nos dan podemos calcular la longitud de cada intervalo restando (x sub i+1) - (x sub i), y el valor de la función en los puntos w sub i, luego la suma es fácil.

$$\begin{align}&S=(0.5-0)·0.25^2+(1.25-0.5)·1^2+(2.25-1.25)·1.5^2+(3-2.25)·2.5^2=\\&\\&0.5·0.0625+0.75·1+ 1·2.25+0.75·6.25 =\\&\\&0.03125 + 0.75 +2.25 +4.6875 =7.71875\end{align}$$

Y eso es todo.

Muchas gracias Sr. Valero hare una pregunta y no juntaré dos, para este ejercicio quise realizarlo de la misma manenra que el anterior, allí estaba mi error, quiero preguntarle que software usa para realizar la grafica?

La he hecho con Geogebra, no tendrás dificultad en hallar la página oficial de descarga. Te dejo esta porque no sé si lo quieres para Windows, Linux o más.

https://www.geogebra.org/download

En respuesta al comentario. Las operaciones son:

$$\begin{align}&S=(x_1-x_0)w_1+(x_2-x_1)w_2+(x_3-x_2)w_3+(x_4-x_3)w_4\end{align}$$

Si te fijas puse el x_0=0  en la operación resta del ejercicio. Aunque podría haber prescindido de él, lo dejé para que quedara más claro.

Buenas tardes en el segundo ejercicio vienen dos x0 eso me imagino que es error de mano suponiendo que es así entonces

=(1.67-0) 1/1.25 + (2.25-1.67)1/2 + (2.67-2.25)1/2.5 + (3-2.67)1/2.75

=1.336 + 0.29 + 0.168 + 0.12

=1.914