Tengo un obstáculo con este problema de inferencia
10. Una maquina produce piezas metálicas de forma cilíndrica. Se toma una muestra de nueve piezas y las medidas de los diámetros son: 1.01, 0.97, 1.03, 1.04, 0.99, 0.98, 0.99, 1.01 y 1.03 centímetros. Se conoce que el diámetro de las piezas producidas por la maquina se distribuyen aproximadamente normal.
a. Hallar una estimación puntual para la media poblacional. Interprete los resultados.
b. ¿Hallar una estimación para la varianza del promedio muestral? Interprete los resultados.
c. ¿Hallar un error de estimación para la media muestral? Interprete los resultados.
d. Estime un intervalo de confianza para el promedio poblacional del diámetro de los cilindros producidos por la maquina, con una confianza del 99%. Interprete los resultados.
e. Realice una nueva estimación con un nivel de confianza menor, compare con los resultados anteriores y concluya con su juicio critico.
1 Respuesta
$$\begin{align}& \end{align}$$$$\begin{align}& \end{align}$$¡Hola Roberto!
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Hay mucho interprete los resultados por ahí que no le veo utilidad, los resultdos son los que son no tienen nada que reseñar, simplemente sería contar la teoría de lo que son y cómo se han calculado y para eso ya adjunto las fórmulas.
a) La estimación para la media poblacional es la media muestral
$$\begin{align}&\overline X=\frac{1.01+0.97+ 1.03+ 1.04+ 0.99+ 0.98+ 0.99+ 1.01 + 1.03}{9}=\\&\\&\frac{9.05}{9}=1.005555...\end{align}$$b) La estimación de la varianza del promedio muestral es la estimación de la varianza de la variable dividida entre n
$$\begin{align}&s^2=\frac{\sum_{i=1}^{n}X_i-n\overline x^2}{n-1}=\\&\\&\frac{1.01^2+0.97^2+ 1.03^2+ 1.04^2+ 0.99^2+ 0.98^2+ 0.99^2+ 1.01^2 + 1.03^2-9·1.005555^2}{8}=\\&\frac{0.004832277775}{8}=0.00060403472\\&\\&\text{Y la estimación de varianza para el promedio es:}\\&\\&s_{\overline X}^2= \frac{s^2}{n}=\frac{0.00060403472}{9}=0.000671149691\\&\end{align}$$c) El error de estimación para la media muestral (o error estandar) es la desviación de la variable promedio. Es la raíz cuadrada del la varianza calculado en b)
$$\begin{align}&SE_{\overline x}= \frac{s}{\sqrt n}= \sqrt{0.000671149691}=0.0259065569\end{align}$$d) El intervalo de confianza es:
$$\begin{align}&I=\overline x\mp z_{\alpha/2}\frac{s}{\sqrt n}\\&\\&\text{Eso último es el error estándar recién calculado}\\&\\&I=\overline x\mp z_{\alpha/2}·SE_{\overline x}\\&\\&\alpha = 1-0.99 = 0.01\\&\alpha/2 = 0.005\\&z_{0.005}=\text{valor que deja probabilidad 0.005 a la derecha}=\\&\qquad\;\;\;\;\;\; \text{valor que deja 0.995 a la izquierda}=2.575\\&\\&I=1.005555...\mp2.575 · 0.0259065569 =\\&\\&1.05555...\mp 0.0667094\\&\\&I=[0.9888461, \;1.1222649]\\&\end{align}$$e) Con un nivel de confianza menor podemos tomar como ejemplo el 95% que el más utilizado y del que más nos acordamos que su coeficiente de confianza es 1.96
$$\begin{align}&I=1.005555...\mp 1.96 · 0.0259065569 =\\&\\&1.005555... \mp 0.05077685\\&\\&I=[1.00477865,\;1.10633235]\end{align}$$Comparando con el resultado para el intervalo de confianza del 99% vemos que este es más pequeño. Luego el tamaño del intervalo de confianza es mayor a mayor nivel de confianza y menor a menor nivel de confianza.
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Y eso es todo.
