Matrimonio mixto en el extranjero

Buenos días, mi cuestión es la siguiente.

Soy española, y mi novio extranjero va a venir de visita un mes a España con un visado Schengen. Hemos decidido casarnos en Dinamarca, ya que nos han dicho que en España los trámites se pueden prolongar hasta 8 meses.

Sé que una vez casados debo inscribir el matrimonio en España. Mi pregunta es si durante el tiempo que tarda en inscribirse él podría permanecer en España aunque se le haya caducado el Visado. De no ser así, qué tendríamos que hacer?

Muchas gracias de antemano