Demostrar y que axioma se utiliza
a) Si a>b y c > d demuestra que a+c > b+d
b) Si a+b > 1 y a < b, demuestra que a^2- b^2 < a – b
2 Respuestas
¡Gracias!
Estas son los axiomas que se están utilizando
transitividad, conmutatividad de la suma
Tomaré los axiomas sobre números reales de la wikipedia.
http://es.wikipedia.org/wiki/Axiomas_de_los_n%C3%BAmeros_reales#Axiomas_de_orden
El tercer axioma de orden dice
Si x<y ==> x+z < y+z para todo z€R
Ponemos el símbolo invertido e intercmabiamos la x con y y tenemos esta reformulación del axioma
Si x>y ==> x+z > y+z para todo z€R
Tenemos
a>b ==> a+c > b+c
y tenemos
c>d ==> c+b > d+b
Juntando las dos desigualdades, usando la comutitiva y la propiedad transitiva de las relaciones de orden tenemos
a+c > b+c=c+b > d+b
a+c > b+d
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El axioma 4º de orden dice:
Si x<y y z>0 entonces xz < yz
nosotros tenemos
1 < a+b
y tenemos
a<b ==> a+(-a) < b+(-a) ==> 0 < b-a ==> b-a >0
aplicamos el axioma
1(b-a) < (a+b)(b-a) = (b+a)(b-a) = b^2-a^2
b-a < b^2-a^2 ==>
ahora por el axoioma tercero de orden podemos sumar a^2-b^2+a-b en los dos sitios
b-a + a^2-b^2+a-b < b^2-a^2 + a^2-b^2+a-b
a^2-b^2 < a-b
·
Y eso es todo.
Si, los axiomas algebraicos que has puesto son los que todos conocemos, pero sin los axiomas de orden no se hubiera podido demostrar nada.
Puntúa la respuesta. Es la respuesta correcta a la pregunta aunque sea más dura de entender que la que ya has puntuado, la cual no usa los axiomas sino deducciones más elaboradas de ellos. Supongo te habrás dado cuenta quién puede responder tus preguntas complejas y que no las contestará sino empiezas por puntuar aquí.
Omar: no se cuales serán los axiomas que te piden, pero veamos...
a) d < c
Sumando b
b+d < b+c
(como b < a)
b+d < b+c < a+c (Listo!)
b)
a^2 - b^2 = ..........................(dif de cuadrados)
= (a-b)(a+b) <........................(como a+b >1)
< a-b .....................................(Listo!
Por las dudas voy a juntar todo sin la explicación, pero quedaría
a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) < a-b