Determinar la ecuación del plano dadas las siguientes condiciones

Perdona la tardanza, he tenido mucho trabajo y este ejercicio no lo he hecho nunca.

Voy a recapitular

Pasa por el punto (-2, 1,1) y cuyas intersecciones con los planos xz y yz forman un ángulos de 45° y 30° con los ejes x, y respectivamente.

Luego en el plano xz forma 45º con x, eso significa que la intersección es de la forma

z=tg(45º)x+b

z=x+b

sin olvidar que es

y=0

el vector director es (1,0,1)

Y con el plano yz forma 30º con el eje y, luego la ecuación es

z=tg(30º)y+c

z = [sqrt(3)/3]y+c

y aparte

x=0

Y el vector director de esta recta es

(0,1,sqrt(3)/3)

Los vectores de estas dos rectas pertenecen al plano, luego su producto vectorial nos dará el vector director del plano

| i    j         k       |

| 1   0        1       | =

| 0   1  sqrt(3)/3|

·

= -i  - [sqrt(3)/3] j +k

Es el vector (-1, -sqrt(3)/3, 1)

pero me gusta más (1, sqrt(3)/3, -1)

Y una vez tenemos el vector director y un punto (-2, 1, 1) la ecuación del plano será

(1, sqrt(3)/3, -1)*(x+2, y-1, z-1) = 0

donde * es el producto escalar

x + 2 + [sqrt(3)/3]y - sqrt(3)/3 - z + 1=0

x + [sqrt(3)/3]y - z +3 - sqrt(3)/3 = 0

3x + sqrt(3)y - 3z + 9 - sqrt(3) = 0

·

Bueno, han sido varias cuentas, vamos a comprobar.

Primero que pasa por (-2,1,1)

-6 + sqrt(3) -3 + 9 - sqrt(3) = 0   bien

·

Luego el corte con el plano xz, que es cuando y=0

3x-3z + 9 - sqrt(3) = 0

3z = 3x + 9-sqrt(3)

z = x + 3 - sqrt(3)/3

Que es una recta que forma 45º con el eje X

·

Y finalmente el corte con el plano yz que es cuando x=0

sqrt(3)y - 3z + 9 - sqrt(3) = 0

3z = sqrt(3)y + 9 - sqrt(3)

z = [sqrt(3)/3]y + 3 - sqrt(3)/3

Que es una recta que forma 30º con el eje Y

·

Y eso es todo.