¿F(x) es continua En el intervalo [a, b]?
1)Si f es una función integrable en [a, b], entonces ¿f tiene que ser continua en [a, b]
2)Se puede integrar en intervalos abiertos, por ejemplo integral de f (x)=2x en (0,2]
1 respuesta
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No tiene porque ser continua, se permite que haya cierto tipo de discontinuidades.
Concretamente en la integral de Riemann se tiene que si una función está acotada y tiene un número numerable (que puede ser infinito) de discontinuidades entonces es integrable. Con la integral de Lebesgue incluso con un número innumerable de discontinuidades puede ser integrable.
Lo que si es cierto siempre es el recíproco, continua implica integrable.
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La integral está definida para intervalos cerrados, entonces esa integral que dices se tendría que calcular así
$$\begin{align}&\lim_{t\to0^+}\int_t^22x\;dx\end{align}$$Y este límite dará el mismo resultado que la integral normal si en x=0 la función está acotada. Y si no estuviera acotada ese límite es precisamente la forma de calcular lo que se llama integral impropia, la cual puede ser que exista o no.
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Y eso es todo.
¿Cómo sé si la función está acotada y qué es la integral impropia?
Si preguntas por la integral impropia es que no lo has dado todavía, puede que lo des en el futuro. Una integral es impropia cuando uno de los extremos de integración es menos infinito o más infinito o cuando en uno de los extremos la función de dentro de la integral se hace infinito, o por las dos cosas.
Por ejemplo
$$\begin{align}&\int_{-\infty}^0e^xdx\\&\\&\int_0^1 \frac{dx}{x}\\&\\&\int_0^{\infty}\frac {dx}{x^2}\end{align}$$Y una función está acotada en un intervalo o un dominio cualquiera si existe un número K tal que
|f(x)| <= K para todo x del dominio
Por ejemplo, la función 1/x no esta acotada en (0,1] para cualquier K que elijas siempre hay un x suficientemente pequeño tal que
1/x > K
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