Demostraciones por medio de conjuntos
Se trata de hacer la demostración por medio del uso de conjuntos.
Agradezco su apoyo.
Realiza la demostración de los siguientes enunciados.
Si A, B y C son tres conjuntos, entonces:
A – (B ∪ C) = (A – B) ∩ (A – C)
A – (B ∩ C) = (A – B) ∪ (A – C)
Si A y B son conjuntos, entonces:
(A ∩ B) ∩ (A – B) = ∅
(A – B) ∪ (A ∩ B) ∪ Ac = U
Sean A y B dos conjuntos y B1 y B2 son subconjuntos de B. Demostrar que si B=B_1∪B_2, entonces A x B = (A x B1) ∪ (A x B2)
1 Respuesta
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Son tres ejercicios y vas a ver que no son triviales, por lo menos el primero. Por eso contestaré uno por pregunta.
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Hare la primera parte, la segunda es similar y así puedes practicar.
$$\begin{align}&\text{Se usará bastante}\\&A-B = A\cap B^c\\&(A\cap B)^c=A^c\cup B^c\\&(A\cup B)^c = A^c\cap B^c\\&A\subseteq B\;y\; B\subseteq A\implies A=B\\&\\&\\&\text{Sea }\; x\in A-(B \cup C)\\&x\in A\\&x\in (B\cup C)^c =B^c\cap C^c\\&x\in (A \cap B^c) \cap (A\cap C^c)=(A-B)\cap(A-C)\\&luego \\&A-(B\cup C) \subseteq (A-B)\cap(A-C)\\&\\&\\&\\&\text{Sea }\; x\in (A-B)\cap(A-C)\\&x\in (A\cap B^c)\cap (A\cap C^c)\\&x\in A\cap(B^c\cap C^c)\\&x\in A\cap(B\cup C)^c\\&x\in A-(B\cup C)\\&luego\\& (A-B)\cap(A-C)\subseteq A-(B\cup C)\\&\\&\text{y como consecuencia de las dos}\\&\\& A-(B\cup C)=(A-B)\cap(A-C)\\&\\&\end{align}$$
Hola profe, gracias por su apoyo, quedó claro, solo le pido que si me puede apoyar con el último el del producto cartesiano:
Sean A y B dos conjuntos y B1 y B2 son subconjuntos de B. Demostrar que si B=Bsubindice1∪Bsubindice2, entonces A por B = (A por Bsubíndice1) ∪ (A por Bsubíndice2).
Mándalo en una pregunta nueva y lo reponderé en cuanto pueda, estoy muy ocupado y no puedo contestar preguntas con más de un ejercicio.
