¿Me podrían explicar este ejercicio con integración de fracciones parciales?
$$\begin{align}& ∫\frac{2x^4+9x^2+x-4}{x^3+4x} dx\\&\\&\end{align}$$Se que se hace una división para poder separar en fracciones pero no se como se encuentran los denominadores
2 Respuestas
Respuesta de Lucas m
2
Primero, como el grado del numerador es mayor que la del denominador, hay que hacer la división de los polinomios:
Obtenemos de cociente 2x
Y de resto x^2+x-4
Luego la fracción se escribe:
$$\begin{align}&\frac{DVD}{DVS}=C+\frac{R}{DVS}\\&\\&DVD:dividendo\\&DVS:divisor\\&C:cociente\\&R:resto\\&\\&\frac{2x^4+9x^2+x-4}{x^3+4x}=2x+\frac{x^2+x-4}{x^3+4x}\\&\\&Descomponiendo sta \ última \ fracción \ en \ fracciones \ parciales:\\&\\&raices \ denomidor: \ x^3+4x=x(x^2+4)\\&\\&\frac{x^2+x-4}{x^3+4x}=\frac{A}{x}+\frac{MX+N}{x^2+4}\\&\\&\frac{x^2+x-4}{x^3+4x}=\frac{A(x^2+4)+Mx^2+Nx}{x(x^2+4)}\\&x^2+x-4=(A+M)x^2+Nx+4A\\&Si \ x=0 \Rightarrow -4=4A \Rightarrow A=-1\\&igualando \ coeficientes \ de \ x^2:\\&1=A+M \Rightarrow M=1-A=2\\&y \ de \ x:\\&N=1\\&Luego:\\&\\&\frac{x^2+x-4}{x^3+4x}=\frac{-1}{x} + \frac{2x+1}{x^2+4}\\&\\&\int \frac{2x^4+9x^2+x-4}{x^3+4x}dx=\int 2x+\frac{-1}{x} + \frac{2x+1}{x^2+4}) dx=\\&\\&x^2-ln|x|+ \int \frac{2x}{x^2+4}dx+ \int \frac{1}{x^2+4} dx=\\&\\&x^2-ln|x|+ln|x^2+4|+\frac{1}{4} arc tg |x| + C\\&\end{align}$$
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
1
·
Por el algoritmo de la división, dividendo igual a divisor por cociente más el resto. Este algoritmo sirve para números y polinomios
D = dc + r
de donde
$$\begin{align}&\frac Dd=c+\frac rd\end{align}$$Luego hagamos la división de polinomios para calcular el cociente y el resto
2x^4 + 9x^2 + x - 4 | x^3 + 4x-2x^4 - 8x^2 --------------------- 2x 0 x^2 + x - 4
Con lo cual
$$\begin{align}&\int\left(\frac{(2x^4+9x^2+x-4}{x^3+4x}\right) dx =\\&\\&\int\left(2x+\frac{x^2+x-4}{x^3+4x} \right)dx=\\&\\&\int 2x \,dx+\int\left(\frac{x^2+x-4}{x^3+4x} \right)dx=\\&\\&x^2+ \int\left(\frac{x^2+x-4}{x^3+4x} \right)dx\\&\\&\text{vamos a dejar el }x^2\text{, no nos olvidemos de él al final}\\&\\&\text{descomponemos el integrando en fracciones simples}\\&\\&\frac{x^2+x-4}{x^3+4x} =\frac{a}{x}+\frac{bx+c}{x^2+4}=\\&\\&\frac{ax^2+4a+bx^2+cx}{x^3+4x}\\&\\&\text{La primera y ultima son iguales y tienen el mismo}\\&\text {denominador, luego el numarador debe ser igual}\\&\\&x^2+x-4=(a+b)x^2+cx+4a\\&-4=4a\implies a=-1\\&c=1\\&a+b=1\implies b=1-a=1-(-1)=2\\&\\&\text{luego la integral segunda descompuesta es}\\&\\&\int \frac {-dx}x+\int \frac{2x+1}{x^2+4}dx=\\&\\&-ln |x|+\int \frac{2x\,dx}{x^2+4}+\int \frac{dx}{x^2+4}=\\&\\&-ln|x|+ln(x^2+4)+\frac 14·2\int \frac{\frac 12 dx}{\left(\frac x2 \right)^2+1}=\\&\\&-ln|x|+ln(x^2+4)+\frac 12 arctg \frac x2+C\\&\\&\text{Añadimos la primera integral y queda}\\&\\&I=x^2-ln|x|+ln(x^2+4)+\frac 12 arctg \left(\frac x2\right)+C\end{align}$$·
Y eso es todo.
¡Muchas Gracias!
Qué porquería de editor de bloques, cuántas veces lo deja todo en un línea, a ver si ahora se ve bien.
2x^4 + 9x^2 + x - 4 | x^3 + 4x -2x^4 - 8x^2 --------- ------------ 2x 0 x^2 + x - 4