¿Cómo resolver la siguiente derivada?

La rapidez de cambio del precio es la derivada, que es justo lo que te da el enunciado.

a)

Luego para 10 unidades

$$\begin{align}&\frac{dp}{dq}(10)=-\frac{100}{(10+2)^2}=-\frac{100}{144}=-0.69444444\\&\\&b) \end{align}$$

b) El precio se calcula con la integral de la derivada anterior, o lo que es lo mismo

resolviendo la siguiente ecuación diferencial:

$$\begin{align}&\frac{dp}{dq}=-\frac{100}{(q+2)^2}\\&\Rightarrow\\&dp=-\frac{100}{(q+2)^2}dq\\&\Rightarrow\\&\int dp=- \int \frac{100}{(q+2)^2}dq\\&\\&p=- \int \frac{100}{(q+2)^2}dq=-100 \int(q+2)^{-2}dq=\\&\\&-100 \frac{(q+2)^{-2+1}}{-2+1}+C=\\&\\&\frac{100}{q+2}\\&\\&p(q)=\frac{100}{q+2}\\&\\&p(6)=\frac{100}{6+2}=12.5\end{align}$$

·

a)

Nos dan la derivada del precio. El valor de esa derivada en un punto es precisamente la rapidez con la que cambia el precio en ese punto. Luego simplemente debemos evaluar la derivada en el punto q=10 para resolver el apartado a.

$$\begin{align}&\left.  \frac{dp}{dq}\right|_{q=10}=-\frac{100}{(10+2)^2}=-\frac{100}{144}=-0.69444...\end{align}$$

b)

Y para calcular el precio de 6 unidades tendremos que calcular la función precio. Eso se hace integrando la derivada que nos dan. Y aparte nos dicen que la constante de integración vale 0, luego no la pondremos que es lo que más apetece.

$$\begin{align}&p=\int-\frac{100}{(q+2)^2}dq=\\&\\&\text{es que es inmediata, pero vamos a resolverla}\\&\text{por cambio con todos los pasos}\\&\\&t=q+2\\&dt = dq\\&\\&=-100\int \frac{1}{t^2}dt=-100\int t^{-2}dt=\\&\\&-100 \frac{t^{-1}}{-1}=100t^{-1}=\frac{100}{t}=\\&\\&\frac{100}{q+2}\\&\\&\\&p(q) = \frac{100}{q+2}\\&\\&\text{y el precio de 6 unidades será}\\&\\&p(3)=\frac{100}{6+2}=\frac{100}{8}=12.5 \end{align}$$