Congruencias de triángulos, geometría no ecuclidiana

Tengo la siguiente pregunta esperando pueda brindarme su valiosa ayuda.

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El paso 2 es por el principio de tricotomía de los números reales, dados dos números a y b se cumple una y solo una de estas tres cosas

a=b

a<b

a>b

El paso iii) está mal escrito, tendria que poner

Si DE < AB entonces existe un punto G entre A y B tal que AG ~= DE

El segmento más corto debe ser congruente con una parte del otro más grande.

En el punto iv) usa que si dos triángulos tienen congruentes dos lados y el ángulo entre ellos, entonces son congruentes los triángulos. Es el llamado criterio L-A-L

En el punto v) como son congruentes los triángulos CAG y FDE entonces el ángulo AGC es congruente con el ángulo DEF, que es el ángulo en E

Y en el punto vi) se recuerda que E era congruente con el ángulo en B por hiṕotesis.  Luego AGC ~ B

Y en el punto vii) dice que eso es contradictorio. Algún motivo habrá pero yo no sé qué axiomas estáis empleando. Debe ser algo de que dada una recta y un punto externo todos los puntos de la recta forman ángulos distintos con ese punto.

Y al haberse dado contradicción se rechaza la hipotesis

DE < AB

luego debe ser DE >= AB

Luego en ix) se supone DE > AB y se hace lo mismo que antes ahora con un punto H entre D y E

Y vuelva a salir una contradicción como antes, luego se rechaza DE > AB

Y por el principio de tricotomia, ya que son falsas

DE < AB  y  DE>AB

tiene que ser DE = AB

Y ahora usamos el criterio de congruencia L-A-L

Ya que tenemos

AB ~ DE

AC ~ DF

angulo A ~ angulo D

por lo que

Triángulo ABC ~ triángulo DEF

Y eso es todo.

Esa parte que ha quedado algo oscura en el punto vii) de demostrar la contradicción también podría decirse que por ser iguales esos ángulos AGC y ABC, entonces la recta BC y la recta GC serían paralelas, pero no pueden serlo porque tienen en común el punto C.

¡Muchas Gracias! Excelente su ayuda como siempre. Saludos experto 

De todas formas el apartado ese está oscuro, porque las geometrías no euclidianas no cumplen el postulado de que por un punto exterior a una recta solo pasa una paralela a ella. Estaría más o menos bien resuelto para geometrías euclidianas, pero las no euclidianas no las he estudiado y no estoy seguro.

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