¿Cuál es la solución de esta integral indefinida?
Tome en cuenta la "c" de constante
$$\begin{align}&\int\frac{1}{\sqrt{\theta^2-1}}d \theta\end{align}$$
2 Respuestas
Se hace por sustitución trigonométrica
Usare x en lugar de teta
$$\begin{align}&\int \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}dx=\\&\\&x=sect \Rightarrow dx=tgt·sect\\&\\&=\int \frac{1}{\sqrt{sec^2t-1}}tgt·sect·dx=\\&\\&\\&fórmula \ trigonométrica:sec^2t=1+tg^2t\\&\\&=\int \frac{1}{\sqrt{tg^2t}}·tgt·\frac{1}{cost}·dt=\\&\\&=\int \frac{1}{cost}dt= \int sect·dt=ln[tgt+sect]=\\&\\&=ln[tg(arcsecx)]+sec(arcsecx)=\\&\\&=ln [\sqrt{x^2-1}+x]+C\end{align}$$
Esta es de un nivel más complicado que las otras!
$$\begin{align}& \end{align}$$¡Hola Cderouin!
·
Me extraña un poco que pongas esta integral entre las otras sencillas que estás poniendo y que no digas siquiera que hay que usar sustitución.
Si se debe resolver por sustitución es bastante complicada, luego voy a suponer que te han enseñado que es una integral directa.
$$\begin{align}&\int\frac{1}{\sqrt{\theta^2-1}}d \theta = arg ch\;\theta+C\end{align}$$Y así me lo enseñaron a mí y así lo mantendré. Pero viendo los libros modernos me doy cuenta que esa notación ha sido despreciada en favor de la anglosajona así que voy a explicarme.
Esa función se llama argumento del coseno hiperbólico de theta y la podrás ver por ahí de alguna de estas formas
$$\begin{align}&arg cosh \;\theta\\&acosh\; \theta\\&cosh^{-1}\theta\end{align}$$O todas las variantes con theta entre paréntesis. Pero bueno, yo creo que nos hemos entendido.
Quizá más importante sea saber el valor por si quieres resolverla por sustitución para ver que lo haces bien.
$$\begin{align}&argsh\,\theta=ln \left(x+\sqrt{\theta^2-1}\right)\end{align}$$Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. Si hay quye hacerla de otra forma dímelo.
Perdón, en la última fórmula me confundí en una letra, lo verdadero es:
$$\begin{align}&argch\,\theta=ln \left(x+\sqrt{\theta^2-1}\right)\end{align}$$
Saludos valeroasm
Disculpa por no aclarar, este ejercicio es parte de las anteriores que están catalogadas como indefinidas inmediatas sin método de sustitución, las posteriores a esta si son con método de sustitución. ¿Podrías resolverlo sin método de sustitución por favor?
Gracias
Pero eso es precisamente lo que he hecho al principio, he intuido que era muy difícil para hacerla por sustitución dado el nivel que estabas llevando y por eso he supuesto que la tenías en tu tabla de integrales inmediatas.
Y te he dicho que la integral inmediata es el "argumento del coseno hiperbólico de theta" y te he dado 4 formas en las que se representa esa función, espero que alguna de ellas coinciuda con la que te han enseñado a ti. Si no dime cómo lo escribís.