Como se puede resolver usando maximos y minimos estos ejercicios

Antonio Martinez!

Una curva diferenciable es cóncava hacia arriba allí donde la derivada segunda es positiva, y es cóncava hacia abajo donde es negativa. Si es cero puede ser un punto de inflexión, un máximo o un mínimo, aunque eso no nos lo preguntan. Si es un máximo ese punto será cóncavo hacia abajo y si es mínimo será cóncavo hacia arriba.

1)

f(x) = x^3 + 9x

f '(x) = 3x^2 + 9

f ''(x) = 6x

(-Oo, 0) es cóncava hacia abajo

(0, +oo) es cóncava hacia arriba

En 0 es un punto de inflexión

.

2)

f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 7x + 1

f '(x) = 6x^2 +6x - 7

f ''(x) = 12x + 6

12x+6 >0

12 x > -6

x >-1/2

(-Oo, -1/2) es cóncava hacia abajo

(-1/2, +oo) es cóncava haia arriba

En 0 es un punto de inflexión

·

3)

f(x) = x^4 - 8x^3 + 24x^2

f '(x) = 4x^3 - 24x^2 + 48x

f ''(x) = 12x^2 - 48x + 48

Esto es una parábola con coeficiente director positivo, luego tiene forma de U. Es mayor que cero a los lados de las raíces o en todo si no existen y menor que cero entre las raíces si existen o en ninguna parte.

12x^2 - 48x + 48 = 0

dividimos entre 12

x^2 - 4x + 4 = 0

Es un cuadrado perfecto

(x-2)^2 = 0

Luego solo tiene una raíz x=2 y es siempre positiva salvo en x=2

(-Oo, 2) U (2, +oo) es cóncava hacia arriba

En 0 hay un mínimo, pero también es cóncava hacia arriba por definición

Y yo creo que ya he hecho bastantes ejercicios, este último solo ya vale por uno normal.

Estas son las gráficas

Y eso es todo.