Ejercicio de endomorfismos.
Sea V un R-espacio vectorial de dimension n, B = {u_1,...,u_n} una base de V y f un endomorfismo de V definido por :
$$\begin{align}&f (u_1) = u_n\\ &f(u_n) = u_1\\ &f(u_i) = u_i \end{align}$$si 1<i<n
1. Demostrar que los autovalores de f son x_1 = 1 y x_2 = -1
2. Probar que f es diagonalizable y calcular su forma diagonal, así como una base que diagonalice f y la correspondiente matriz de paso.
1 Respuesta
Rocio Nuñez!
La matriz del endomorfismo son las imágenes de la base puestas por columnas, será así
$$\begin{pmatrix}0&0&0&···&1\\0&1&0&···&0\\0&0&1&···&0\\· &·&·& 1&·\\1 &0&0& ···&0\\\end{pmatrix}$$El determinante de |M -x·id| será
|-x 0 0 ... 1|
|0 1-x 0 ... 0|
|0 0 1-x ... 0|
| ......................... |
|1 0 0 -x|
Por la definición de determinante de la suma de productos donde cada uno tiene un elemento de cada fila y columna y la signatura de la suma de los subíndices tenemos que lás únicas dos sumas que no son cero son
(-x)(1-x)(1-x)···(1-x)(-x) = x^2(1-x)^(n-2)
(-1)^(n+1)·1·(1-x)(1-x)···(1-x)·1 = (-1)^(n-1)(1-x)^(n-2)
su suma es
|M-x·id| = (1-x)^(n-2)·[x^2+(-1)^(n-1)]
Para que se entienda mejor:
si n es impar
|M-x·id| = (1-x)^(n-2)·(x^2+1)
valores propios
lamda1 = -1 con multiplicidad n-2
lambda2 = i con multiplicidad 1
lambda3 = -i con multiplicidad 1
Si n es par
|M-x·id| = (x-1)^(n-2)·(x^2-1) = (x-1)^(n-2)·(x-1)(x+1) = (x-1)^(n-1)·(x+1)
valores propios
lambda1 = 1 con multiplicidad n-1
lambda2 = -1 con multiplicidad 1
Luego el enunciado no es del todo correcto.
No sé si seguir, o mejor mira a ver si era ese el enunciado correcto y completo.
2. Sabemos por teoría que toda matriz real simétrica es diagonalizable. Supongo que servirá eso.
Lo dejo de momento a la espera de la aclaración, porque tengo que hacer otras cosas ahora y porque esta parte de las matemáticas no la manejo muy bien.
Tuve un fallo en el cálculo del determinante, confundí la signatura de una permutación con el signo del adjunto de un elemento.
La signatura es 1 si el número de ciclos de la permutación es es par y es -1 si es impar.
Entonces tenemos la permutación correspondiente a los elementos de la diagonal principal, es la permutación identidad, tiene 0 ciclos y por lo tanto sifno más
Y la permutación correspondiente al productos de los elementos
1, 1-x, 1-x, ..., 1-x, 1
Cambia el elemento primero con el enésimo y los demás quedan en su sitio, luego es una permutación con un solo ciclo el (1, n) y por lo tanto de signatura -1.
Luego el determinante es
$$\begin{align}&|M-xI| = \\ &(-x)(1-x)···(1-x)(-x)\;-\;1(1-x)···(1-x)1=\\ &\\ &(1-x)^{n-2}(x^2-1)=0\\ &\\ &(x-1)^{n-2}(x-1)(x+1)=0\\ &\\ &(x-1)^{n-1}(x+1)=0\end{align}$$Luego en todos los casos los valores propios son
x=1 con multiplicidad n-1
x=-1 con multiplicidad 1
Y de momento mando esto para corregir el error que tuve, luego continuaré porque esta materia no se me da muy bien.
2)
Como ya dije toda matriz simetrica real es diagonalizaable. Pero si no te sirve eso lo haremos por el método normal. Será diagonalizable si la dimensión de los espaciós propios de cada valor propio coincide con la multiplicidad del valor propio. Cuando la multiplicidad es 1 siempre sucede eso, pero cuando es superior puede no suceder. Luego probaremos con el valor propio 1
El espacio propio del valor propio lambda es el conjunto de soluciones de la ecuación matricial
M - lambda·Id = 0
cuando lambda=1 la ecuación es
M - Id = 0
-1 0 0 ··· 1 | 0
0 0 0 ....0 | 0
.......
1 0 0 -1| 0
sumando la primera a la última queda todo 0 en la ultima fila.
Luego tenemos un sistema indeterminado de n incógnitas con una sola ecuación, por lo tanto la solución depende de n-1 parametros y es un espacio vectorial de dimensión n-1 que es la multiplicidad del valor propio 1.
Luego es diagonalizable.
La matriz diagonalizada tiene los valores propios en la diagonal, luego puede ser esta
1 0 0 ... 0
0 1 0 ... 0
0 0 1 ... 0
··············
0 0 0 ... -1
Y la matriz de paso se obtiene poniendo por columnas los vectores propios correspondientes a los valores propios.
Para el valor propio 1 la única ecuación que quedaba era
-x1 + xn = 0
x1 = xn
podemos tomar estos vectores como base del espacio propio
(1, 0, 0, ..., 1)^t
(0, 1, 0, ..., 0)^t
(0, 0, 1, ..., 0)^t
....
(0, 0, 0, ..., 1)^t
Y para el valor propio 1 la ecuación matricial que queda es
M + Id = 0
1 0 0 ... 1 | 0
0 2 0 ... 0 | 0
0 0 2 ... 0 | 0
......
1 0 0 ... 1 | 0
La primera y última son redundantes, la solución es
x1=-xn
xi=0 para 2<=i <= n-1
Luego podemos tomar este vector propio para -1
(1, 0, 0, ...., -1)^t
Y colocamos todos los vectores por columnas para construir la matriz de paso
(1 0 0 ... 0 1)
(0 1 0 ... 0 0)
P = (0 0 1 ... 0 0)
.......
(0 0 0 ... 1 0)
(1 0 0 ... 0 -1)
Espero que se vea bien, no he podido hacerlo con el editor de ecuaciones porque funciona mal con las matrices.
Y eso es todo.
