Pregunta, problema de álgebra lineal

Si se supone que el resultado es un polinomio de grado 4, entonces será el único polinomio que pase por 5 puntos correspondientes a la suma de cubos

Así será un polinomio que pase por los puntos

(1,1)

(2, 1+8) = (2,9)

(3, 9+27) = (3,36)

(4, 36+64) = (4, 100)

(5, 100+125) = (5, 225)

Y el cáculo del polinomio se hace por la fórmula de Lagrange o de Newton. Ambas las tengo completamente olvidadas. Mejor el método de Newton.

Puede que la tabla quede desastrosa si se comen los espaciós en blanco que voy a poner o les dan una longitud distinta a la que hay mientras escribo, puede pasar

Las diferencias divididas son:

               f(xi)    f[xi,x(i+1)]    f[xi,..,..]    f[xi,,,]    f[xi,,,,]

xo   1        1             8            19/2          3         1/4

x1   2        9           27            37/2          4

x2   3      36           64            61/2

x3   4    100         125

x4   5    225

Y de acuerdo con la teoría sobre diferencias divididas y el polinomio de inrterpolación de Newton tenemos:

p4(x) = f(xo) + f[xo,x1](x-xo) + f[xo,x1,x2](x-xo)(x-x1) + f[xo,x1,x2,x3](x-xo)(x-x1)(x-x2) + f[xo,x1,x2,x3,x4] (x-xo)(x-x1)(x-x2)(x-x3) =

1 + 8(x-1) + (19/2)(x-1)(x-2) + 3(x-1)(x-2)(x-3) + (1/4)(x-1)(x-2)(x-3)(x-4) = ...

las cuentas se dejan como ejercicio

... = (x^4+2x^3+x^2) / 4

Comprobamos para algún valor

p4(1) = 4/4=1

p4(2) = (16+16+4)/4 = 36/4 = 9

p4(6) = (1296 + 432 + 36) / 4 = 441

Teníamos que la suma hasta 5 era 225 + 6^3 = 225+216 = 441

Luego ha acertado para un número de fuera de la lista con que se confeccionó, estará bien.

1^3+2^3+ ...+ n^3 = (n^4 + 2n^3 + n^2) / 4

Se puede simplificar para hacer más fácil las cuentas

$$\begin{align}&\frac{n^4+2n^3+n^2}{4} = \frac{n^2(n^2+2n+1)}{4}=\\ &\\ &\frac{n^2(n+1)^2}{4} = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2\end{align}$$

Y solo con una multiplicación, una división fácil y un cuadadro haces los cáculos

Si buscas la fórmula para estar seguro encontrarás

en

http://es.wikipedia.org/wiki/Cubo_%28aritm%C3%A9tica%29 

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Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. Lo he hecho rápido suponiendo que estás dando esta materia de Análisis Numérico, porque el problema es claramente de esa materia.

¡Gracias! excelente respuesta y la entendí muy bien!

mi experto favorito :)