¿Como sacaria la inversa de f(x)=5-4x^3 y su recta y=x?

Kevin Alvarez!

Para calcular la inversa tienes que despejar la x en esta expresión

$$\begin{align}&y=5-4x^3\\ &\\ &4x^3 =5-y\\ &\\ &x^3 =\frac{5-y}{4}\\ &\\ &x =\sqrt[3]{\frac{5-y}{4}}\\ &\\ &\text {y ahora cambias la x por }f^{-1}(x) \\ &\text {y las y por x}\\ &\\ &f^{-1}(x)=\sqrt[3]{\frac{5-y}{4}}\\ &\\ &\text {que también puedes escribor como}\\ &\\ &f^{-1}(x)=\left(\frac{5-y}{4}\right)^{\frac 13}\\ &\end{align}$$

Y lo segundo que te piden es para que compruebes que las gráficas son simétricas respecto a la recta y=x

Esta es la gráfica donde se ve que sucede eso.

Estas mezclando los sqrt con los ^(1/3) se emplea solo una de las dos cosas, mejor lo segundo ya que con sqrt se tendría que escribir algo como sqrt[3](x)

Veo que no quieres poner signo positivo en la x en el primer paso. Da igual, mas pronto o más tarde tendras que hacerlo y tiene que darte el mismo resultado que a mi porque no hay otro.

Voy a hacerlo de la forma que lo has hecho y corrigiendo el fallo

y = 5 - 4x^3

y-5 = -4x^3

(y-5)^(1/3) = (-4x^3)^(1/3)

aquí has sacado mal la raíz ya que el 4 no está elevado al cubo

(y-5)^(1/3) = (-4)^(1/3) · x

(y-5)^(1/3) = - [4^(1/3)] · x

-(y-5)^(1/3) = 4^(1/3) ·x

(5-y)^(1/3) = 4^(1/3)·x

[(5-y)^(1/3)] / 4^(1/3) = x

[(5-y)/4]^(1/3) = x

Pero como puedes fijarte se han hecho muchas más operaciones y alguna bastante conflictiva como la raíz cúbica de un número negativo, luego lo mejor es que lo hagas tal como lo hice yo al principio.

Y eso es todo.