Resolución de ecuación diferencial

Luis Alberto!

Veamos cuáles son las derivadas parciales

My = 4xy - 2x/y^3

Nx = 8xy

Nx-My = 4xy - 2x/y^3

Si dividimos (Nx-My)/M tendremos

$$\begin{align}&\left(4xy+\frac{2x}{y^3}\right)\div\left(2xy^2+\frac{x}{y^2}  \right)=\\ &\\ &\left(\frac{4xy^4+2x}{y^3}\right)\div \left(\frac{ 2xy^4+x}{y^2} \right)=\\ &\\ &\frac {2y^2(2xy^4+x)}{y^3(2xy^4+x)}= \frac 2y\end{align}$$

Cuando (Nx-My)/M es una función f(y) que solo depende de y, el factor integrante es e elevado a la integral de f(y)dy

$$\begin{align}&\mu(y) = e^{\int \frac 2ydy}= e^{2lny}= e^{ln\,y^2}= y^2\\ &  \\ &  \text{Multiplicamos la ecuación pro el factor intergrante}\\ &  \\ &  (2xy^4+x)dx +4x^2y^3dy=0\\ &  \\ &  ahora\\ &  M_y = 8xy^3\\ &  N_x=8xy^3\\ &  \\ &  \text{Y es una diferencial exacta.}\\ &  \text{Hallamos la solución u(x,y)=C}\\ &  \\ &  \text{Integramos M respecto de x}\\ &  u=y^4x^2+\frac {x^2}{2}+\varphi(y)\\ &  \text{derivamos respecto de y, y eso es N}\\ &  \frac{du}{dy}=4y^3x^2+\varphi'(y)=4x^2y^3\\ &  \\ &  \varphi'(y)=0 \implies\varphi(y)=C_1\\ &  \\ &  \text{Luego tenemos}\\ &  u=x^2y^4+\frac {x^2}{2}+C_1 =C\\ &  \\ &  x^2y^4 +\frac{x^2}2= C\\ & \\ & y^4+\frac 12=\frac C{x^2}\\ & \\ & y^4=\frac{C}{x^2}-\frac 12= \frac{2C-x^2}{2x^2}=\frac{C-x^2}{2x^2} \\ & \\ & y =\pm{\sqrt[4]{\frac{C-x^2}{2x^2}}}\\ & \\ & \text {si nos dejan poner complejas también sirven}\\ & \\ & y =\pm \;i\;{\sqrt[4]{\frac{C-x^2}{2x^2}}}\\ & \\ &\text{porque la unidad tiene 4 raíces cuartas}   \end{align}$$

Valero, de verdad haces un trabajo exepcional, la solución me urgía y me sorprendió mucho ver que atendiste de un día para otro. De verdad muchas gracias.

La unica duda que me quedó es al inicio que tienes "My" igual a algo y "Nx" igual a algo, pero cuando haces "Nx - My" da como resultado lo mismo que hay en "My", por que sucede así?.

Si estas muy saturado no te preocupes entiendo, y creeme que para mi ya hiziste suficiente. Nuevamente gracias.