Hola! Valeroasm ¿Podrías ayudarme con estos ejercicios?

Edith Zamora!

La ecuacion caracteristica es un polinomio donde la derivada enésima de la función lineal con coeficientes cosntantes se sustituye por una variable elevada a la n. Considerando que la función no derivada es la derivada 0, el coeficiente de la función es el coeficiente libre del polinomio. Yo empleaba la variable k en las ecuaciones características, pero el nombre es lo menos importante.

a) k^2 + 17k + 20 = 0

No se ve método de factorización posible, no dos números que su producto sea 20 y suma 17. Luego resolveremos la ecuación de segundo con la fórmula archiconocida.

$$\begin{align}&k=\frac{-17\pm \sqrt{17^2-80}}{2}=\frac{-17\pm \sqrt{209}}{2}\end{align}$$

b) 16k^2 - 8k + 1=0

Aquí vemos que es el cuadrado perfecto de un binomio

(4k +1)^2 = 16k^2 - 8k +1 = 0

luego

4k+1 = 0

4k=-1

k = -1/4

Y en este caso la raíz es doble, dos veces -1/4

c) k^2 - 4k + 5 = 0

En este caso prodríamos pensar que se puede factorizar, pero no, los numeros que multiplicados dan 5 son 1 y 5, ó -1 y -5. Y su suma no da 4 en ningùn caso. Luego usaremos la ecuación de segundo grado.

$$\begin{align}&k=\frac{4\pm \sqrt{16-20}}{2}= \frac{4\pm \sqrt 4}{2}= 2\pm i\end{align}$$

d) k^3 - 2k^2 - k + 2=0

Y los de grado 3 son para echarse a temblar. Deben estar presparados y ser fáciles, un fallo en un número o un signo y lo llevas fatal.

Suponiendo que sea fácil el producto de las raíces es 2, luego pueden ser 1,-1,2 y -2

Probemos con ellas

Para k=1

1 - 2 -1 + 2 = 0

Que bien k=1 es la primera ráiz.

Ahora se divide por Ruffini

 1 -2 -1 2
1 1 -1 -2
      ----------------
      1 -1 -2 |0

nos queda el polinomio

k^2 - k - 2 = 0

ahora vemos que k=1 no sirve, pero k=-1 si sirve

1 + 1 - 2 = 0

Dividimos por Ruffini en el mismo de antes

Hay quien prueba con los números directamente sobre el dibujo de Ruffini, pero es que aqui no podemos hacer que tu veas como borramos los fallos.

 1 -2 -1 2
1 1 -1 -2
      ----------------
      1   -1   -2  |0
-1 -1 2
      -----------
      1 -2 |0

y la raíz que queda es 2

Luego las raíces son

k = {1, -1, 2}

Y eso es todo.