Ejercicio por mínimos (Derivadas parciales - criterio de la derivada)

Enrique et!

Ya que estamos con lo smultiplicadores de Lagrange lo haremos con ellos. Aunque esto problemas se resolvían en el colegio sin necesidad de usarlos.

La fúnción longitud de la cerca será 2 largos más dos altos

f(x,y) = 2x+2y

Y la ecuación de ligadura es

xy = 6400

Luego formamos la ecuación auxiliar con su multiplicador de Lagrange

f(x,y,t) = 2x+2y + t(xy-6400)

Y la derivamos respecto de x e y igualando a cero

fx(x,y,t) = 2 + ty = 0   ==>   t = -2/y

fy(x,y,t) = 2 + tx = 0   ==>   t = -2/x

-2/y = -2/x  ==> y=x

Y finalmente hagamos que cumpla la ecuación de ligadura xy=6400

x·x = 6400

x = 80

y = 80

Luego el máximo de la función es

f(80,80) = 2·80 + 2·80 = 320 yd

Y eso es todo.

¡Gracias! Experto muy bien explicado.

Una pregunta ... entonces el mínimo de la función seria 80 y de ... no seria 80 y de^2

Ah el máximo no seria 320 y de^2.

No, perdona, donde dije máximo tenía que haber dicho mínimo, lo que se calculaba era la mínima longitud de cerca que valla 6400 yd^2. La longitud máxima tiende a infinito.

Pero espera, vamos a empezar que me olvidé del rio y contesté algo distinto a lo que preguntaban, hay ejercicios que los tienes tan en la memoria que los ves por todas partes con tal se parezcan un poco.

La longitud de la cerca será:

f(x,y) = 2x+y

Ya que el otro largo de longitud "y" lo pone el río.

La ecuación de ligadura es la misma

xy = 6400

Luego la función auxiliar es

g(x,y,t) = 2x+y +t(xy-6400)

derivamos respecto a las variables x e y

gx(x,y,t) = 2 + ty   ==>   t = -2/y

gy(x,y,t) = 1 + tx   ==>   t = -1/x

-2/y = -1/x

-2x = -y

y = 2x

y con este valor vamos a la ecuación de ligadura

xy = 6400

x·2x = 6400

2x^2 = 6400

x = sqrt(3200) = sqrt(1600·2) = 40·sqrt(2)

y = 2x = 80·sqrt(2)

Supongo que sabrás que sqrt(x) es raíz cuadrada de x

Luego las dimensiones del campo son un rectángulo con dos lados perpendiculares al rio cuya longitud es 40·sqrt(2) yd, y un lado paralelo alrío que mide 80sqrt(2) yd.

Y ahora ya está bien, antes lo había leído mal.

Una pregunta EXPERTO ... entonces el mínimo de la función seria 80 yd ... no seria 80 y d^2

Ah el máximo no seria 320 yd^2 ???.

gracias experto por la aclaración .... y disculpe por enviarle de nuevo la misma acotación 

GRACIAS 

UN SALUDO

Una ultima acotación .... entonces la mínima cantidad de cerca seria 40. sqrt(2) yd.

Gracias