Combinación de métodos
Encuentra las raíces de las siguientes funciones por los métodos de la regla falsa, Newton y secante con una precisión de 10 a la menos 3.
a). X al cubo + 12.5x - 8
b) x a la cuarta + 3x al cubo + 5x² + x - 8
c). Sen(x) + cos(x) / x
Propón la aproximación inicial y en el caso de que la función tenga más de 1 raíz, solo responde con alguna de ellas.
1 Respuesta
Hola te pido por favor me apoyes nada mas con el inciso a) con la regla falsa y secante, espero me puedas ayudar, gracias.
Saludos.
El polinomio en x
x^3 + 12.5x - 8
Solo tiene un cambio de signo en los coeficientes. Luego de acuerdo con la regla de los signos de Descartes hay una raíz positiva
y el polinomio en -x es
(-x)^3 + 12.5(-x) - 8 =
-x^3 -12.5x - 8
Que no tiene ningún cambio de signo, luego no hay ninguna raíz negativa.
Sobre la elección de la aproximación inicial no sé como lo hacéis.
Yo se que el polinomio en cero vale
p(0) = -8
y el 1 vale
p(1) = 5.5
Todo el tiempo que gaste calculando una aproximación inicial lo pierdo aunque después tarde menos, luego mejor tomo los valores 0 y 1 y empiezo
El método de la regla falsa es iterativo. A partir de la iteración n donde tenemos unos extremos an y bn, donde la función es positiva en uno y negativa en otro, se calcula el punto de corte con el eje X de la recta que lleva del punto (an, f(an) a (bn, f(bn)
A ese punto lo llamaremos cn y será un nuevo extremo, el de la izquierda si el signo de f(cn) es distinto del de f(bn) o el de la derecha si el signo de f(c) es distinto del de f(an)
La fórmula para calcular cn es
cn = [f(bn)·an - f(an)·bn)] / [f(bn) - f(an)]
Los datos iniciales y la función son
f(x) = x^3 + 12.5x - 8
a0=0 ==> f(a0) = -8
b0=1 ==> f(b0) = 5.5
calculamos c0
c0 = [5.5 · 0 - (-8)·1] / [5.5-(-8)] = 8 / 13.5 = 0.5925925926
f(c0) = -0.3844942336
es negativo, luego se deja como extremo izquierdo.
Los nuevos valores para la iteración son
a1=0.5925925926 ==> f(a1) = -0.3844942336
b1=1 ==> f(b1) = 5.5
calculamos c1
c1 = [5.5 · 0.5925925926 + 0.3844942336] / (5.5 + 0.3844942336) =
3.643753493 / 5.8844942336 =0.6192126882
f(c1) = -0.02242017345
Como es negativo se toma como extremo izquierdo y la iteración nueva es
a2 = 0.6192126882 ==> f(a2) = -0.02242017345
b2 = 1 ==> f(b2) =5.5
calculamos c2
c2 = [5.5 · 0.6192126882 + 0.02242017345] / (5.5 + 0.02242017345) =
3.428089959 / 5.52242017345 = 0.6207584186
f(c_2) = -0.001316088318
Como es negativo se queda de extremo izquierdo
a3 = 0.6207584186 ==> f(a3) = -0.001316088318
b3=1 ==> f(b3) = 5.5
calculamos c3
c3 = [5.5 · 0.6207584186 + 0.001316088318] / 5.5+ 0.001316088318 =
3.415487391 / 5.501316088318 =0.6208491452
f(c3) = -0.0000771091665
Haremos la última que esto desgasta mucho
a4 = 0.6208491452 ==> f(a4) = -0.0000771091665
b4 = 1 ==> f(b4) = 5.5
calculamos c4
c4 = (5.5 · 0.6208491452 + 0.0000771091665) / (5.5 + 0.0000771091665)=
3.414747408 / 5.5000771091665 = 0.6208544608
f(c4) =-0.0000045178667
Y seguro que los tres primeros decimales están bien y el cuarto puede que también. Y el valor de la función ya es bastante próximo a 0, luego lo dejamos ya, la respuesta es
x = 0.6208544608
Si solo se tuviera que dar 3 decimales sería x=0.621
Nunca he hecho el método de la secante y con estos problemas te matas con la calculadora, manda ese método en otra pregunta
