Anónimo
Valores y vectores propios
hola, ¿ se puede calcular los valores y vectores propios a mano?
en los ejemplos que he encontrado explican hasta el cálculo de la matriz de var-covar o correlaciones, luego dicen ahora obtendremos los eigen values y vectors y usan alguna función del programa que estén usando, eig en matlab y eigen en R, pero en una matriz de 3x3 se puede a mano? Y cómo sería?
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Gracias
1 Respuesta
Por supuesto que se pueden calcular a mano los valores y vectores propios. Siendo una matriz 3x3 puede ser que el polinomio no tenga raíces enteras claras y haya que usar un programa de esos, pero ya sería para algo menor.
No sé si habrás dado la teoría de álgebra lineal referente a valores y vectores propios.
La definición es:
T es un valor propio de la matriz A si y solo si
Ax = tx para algún x € R^3 distinto de (0,0,0)
Y se dirá que x es el vector propio asociado al valor propio t.
De forma más genérica si la matriz es nxn seria x€R^n
Esa ecuación matricial se pone como
Ax - tx = 0
(A-TI)x = 0 donde tI es t multiplicado por la matriz identidad
Esto es un sistema homogéneo con solución (0,0,0) que no nos sirve, para que tenga otras soluciones desde ser un sistema indeterminado y para ello el determinante de la matriz (A-tI) debe ser cero.
Pues precisamente de hacer cero ese determinante es como se obtienen los valores propios
$$\begin{vmatrix}
4-t&1&4\\
1&7-t&1\\
4&1&4-t
\end{vmatrix}=0
\\
(4-t)(7-t)(4-t)+4+4 -16(7-t)-(4-t)-(4-t)= 0
\\
(16+t^2-8t)(7-t)+8-112+16t-4+t-4+t=0
\\
112 +7t^2-56t-16t-t^3+8t^2-112+18t=0
\\
-t^3+15t^2-54t=0$$t=0 es el primero
simplificando t queda
-t^2 + 15t - 54=0
t^2 - 15t + 54=0
$$\begin{align}&t=\frac{15\pm \sqrt{225-216}}{2}=\\ &\\ &\frac{15\pm \sqrt{9}}{2}= \frac{15\pm 3}{2}= 6\;y\;9\end{align}$$Luego los valores propios son 0, 6 y 9
Y los vectores propios de cada valor se obtienen sustituyendo t en la matriz y resolviendo el sistema
Para t=0
4-0 1 4 | 0 4 1 4| 0 1 7-0 1 | 0 1 7 1| 0 4 1 4-0| 0 4 1 4| 0 4 1 4| 0 1 7 1|0 1 7 1|0 1 7 1| 0 4 1 4|0 0 -27 0|0 0 0 0| 0
La solución es x=-z, y=0
Tomamos como valor propio por ejemplo (1,0,-1)
Puede tomarse cualquier múltiplo de él no nulo pero ese es el más sencillo
Para t = 6
4-6 1 4 |0 -2 1 4|0 1 7-6 1 |0 1 1 1|0 4 1 4-6|0 4 1 -2|0 1 1 1|0 1 1 1|0 -2 1 4|0 0 3 6|0 4 1 -2|0 0 -3 -6|0 1 1 1|0 0 3 6|0
La solución es
3y + 6z = 0
y=-2z
x -2z+z =0
x =z
Dando valor 1 a z tenemos este valor propio
(1, -2, 1)
Para t=9
4-9 1 4 |0 -5 1 4|0 1 7-9 1 |0 1 -2 1|0 4 1 4-9|0 4 1 -5|0 1 -2 1|0 1 -2 1|0 -5 1 4|0 0 -9 9|0 4 1 -5|0 0 9 -9|0 1 -2 1|0 0 -9 9|0
La solución es
-9y+9z =0
y=z
x -2z+z = 0
x=z
Y el valor propio es
(1,1,1)
Resumiendo
Valor propio 0 con vector propio (1, 0, -1)
Valor propio 6 con valor propio (1, -2, 1)
Valor propio 9 con valor propio (1, 1, 1)
Y eso es todo.