Antiimagen de un vector
Tengo el siguiente problema por resolver y me gustaría saber si el planteamiento que tengo es el correcto.
De entrada muchas gracias por vuestro tiempo.
En una aplicación lineal f:R^4-->R^3 tengo la matriz en bases canónicas:
a 1 a a
1 1 1 a
1 a 1 a
Y necesito saber para que valores del parámetro a tienen antiimagen los vectores v=(4,4,4) y u=(4,5,4)
Mi planteamiento es primero quitar la primera columna de la matriz puesto que es igual a la tercera y tener una matriz cuadrada y después igualarla a cada vector buscado:
x +ay +az = 4
x +y +az = 4
ax +y +az = 4
Esta solución no me convence mucho puesto que no se por donde tirar.
Otra idea que tengo es hallar el determinante de la matriz: a^3-2a^2+a y escoger el resultado cuyo rango de la matriz sea 3, sustituir el valor por a y posteriormente calcular las ecuaciones cuyo resultado entiendo que son las antiimágenes.
Bueno un lio en definitiva es lo que tengo.
Andrés
De entrada muchas gracias por vuestro tiempo.
En una aplicación lineal f:R^4-->R^3 tengo la matriz en bases canónicas:
a 1 a a
1 1 1 a
1 a 1 a
Y necesito saber para que valores del parámetro a tienen antiimagen los vectores v=(4,4,4) y u=(4,5,4)
Mi planteamiento es primero quitar la primera columna de la matriz puesto que es igual a la tercera y tener una matriz cuadrada y después igualarla a cada vector buscado:
x +ay +az = 4
x +y +az = 4
ax +y +az = 4
Esta solución no me convence mucho puesto que no se por donde tirar.
Otra idea que tengo es hallar el determinante de la matriz: a^3-2a^2+a y escoger el resultado cuyo rango de la matriz sea 3, sustituir el valor por a y posteriormente calcular las ecuaciones cuyo resultado entiendo que son las antiimágenes.
Bueno un lio en definitiva es lo que tengo.
Andrés
1 Respuesta
Respuesta de dudoso2
1
Te respondo:
Para hallar imágenes y antiimagenes en aplicaciones lineales, lo más práctico es "jugar" con las matrices asociadas a dichas aplicaciones, como bien ha hecho tu.
Pero, debo hacer un inciso en tu razonamiento:
Sabemos que la aplicación lineal es
f:R^4-->R^3, las coordenadas de entrada de un punto de la antiimagen de un punto P(x, y, z) de R^3, son Q(x, y, z, t), ya que estamos ante un espacio de dimensión 4.
Por lo tanto, para tanto para hallart imágenes como antiimagenes, se tiene lo siguiente:
Si A = matriz asociada con las bases canónicas =
a 1 a a
1 1 1 a
1 a 1 a
y P (x,y,z) de R^3, Q (x,y,z,t) de R^4,
entonces,
tendríamos:;
A.Q = P, esto es:
a 1 a a x x
1 1 1 a y y
1 a 1 a z =
t z
Para hallar las imágenes, bastaría sustituir el valor de Q por el que nos dan. En cambio, para hallar la antiimagenes, debemos determinar si los sistemas tienen solución:
x+ay+az+at = 4
x+y+z+at= 4
x+ay+z+at = 4
x+ay+az+at = 4
x+y+z+at= 5
x+ay+z+at = 4
En este caso, de tener solución, sería un sistema compatible indeterminado, por ser de 4 incógnitas y 3 ecuaciones.
Lo que no puedes hacer es eliminar una columna de la matriz asociada a la aplicación f, ya que en ese caso estás eliminando una variable que interviene en f.
No se si me he explicado bien.
Saludos y si tiene alguna duda, pregunta.
No se olviden de puntuar la pregunta.
Para hallar imágenes y antiimagenes en aplicaciones lineales, lo más práctico es "jugar" con las matrices asociadas a dichas aplicaciones, como bien ha hecho tu.
Pero, debo hacer un inciso en tu razonamiento:
Sabemos que la aplicación lineal es
f:R^4-->R^3, las coordenadas de entrada de un punto de la antiimagen de un punto P(x, y, z) de R^3, son Q(x, y, z, t), ya que estamos ante un espacio de dimensión 4.
Por lo tanto, para tanto para hallart imágenes como antiimagenes, se tiene lo siguiente:
Si A = matriz asociada con las bases canónicas =
a 1 a a
1 1 1 a
1 a 1 a
y P (x,y,z) de R^3, Q (x,y,z,t) de R^4,
entonces,
tendríamos:;
A.Q = P, esto es:
a 1 a a x x
1 1 1 a y y
1 a 1 a z =
t z
Para hallar las imágenes, bastaría sustituir el valor de Q por el que nos dan. En cambio, para hallar la antiimagenes, debemos determinar si los sistemas tienen solución:
x+ay+az+at = 4
x+y+z+at= 4
x+ay+z+at = 4
x+ay+az+at = 4
x+y+z+at= 5
x+ay+z+at = 4
En este caso, de tener solución, sería un sistema compatible indeterminado, por ser de 4 incógnitas y 3 ecuaciones.
Lo que no puedes hacer es eliminar una columna de la matriz asociada a la aplicación f, ya que en ese caso estás eliminando una variable que interviene en f.
No se si me he explicado bien.
Saludos y si tiene alguna duda, pregunta.
No se olviden de puntuar la pregunta.
Me abrió los ojos hacia la respuesta, lo que me hizo tener que pensar más. La base es comparar la compatibilidad del sistema en función del rango de las matrices asociada y ampliada.
