Calcular el área de la región acotada por las gráficas de zy=16-x^2 y x+2y-4=0

Seguramente hay una errata en el enunciado y quieres decir las gráficas de

y=16-x^2

x+2y-4=0

Debemos poner las dos como función de la misma variable. En este caso lo mejor sera poner ambas como y=f(x)

y = 16-x^2

y = (4-x)/2

Veamos cuales son los puntos de corte. Si son solo dos esos serán los límites, si fueran tres o más convendría hacer la gráfica aunque tampoco es obligatorio

16 - x^2 = (4-x)/2

32 - 2x^2 = 4 - x

2x^2 - x - 28 = 0

x = [1 +- sqrt(1 + 224)] / 4 = (1 +- 15)/4 = -14/4 y 4 = -7/2 y 4

Esos son los límites de integración. Causa buena impresión, aunque no sea obligatorio saber cual es la función superior y la inferior. Para ello calculamos el valor de ambas en un punto cualquiera, el 0 por ejemplo

16-x^2 = 16 - 0 = 16

(4-x)/2 = 4/2 = 2

Luego y=16-x^2 es la superior, es la que irá en el minuendo y la otra será el sustraendo

$$\begin{align}&a=\int_{-\frac 72}^4\left(16-x^2 -\frac{4-x}{2}\right)dx=\\ &\\ &\int_{-\frac 72}^4\left(\frac{32-2x^2-4+x}{2}  \right)dx=\\ &\\ &\frac 12 \int\left(28-2x^2+x  \right) dx=\\ &\\ &\frac 12\left[28x -\frac{2x^3}{3}+\frac {x^2}{2}  \right]_{-\frac 72}^4=\\ &\\ &\frac 12\left(112-\frac{128}{3}+8+98-\frac{686}{24}-\frac{49}{8}  \right)=\\ &\\ &\frac 12\left(218-\frac{128}{3}-\frac{686}{24}-\frac{49}{8}  \right)=\\ &\\ &\frac 12\left(\frac{5232-1024-686-147}{24}  \right)=\\ &\\ &\frac 12·\frac{3375}{24}= \frac{3375}{48}=\frac{1125}{16}\end{align}$$

Si no hubiéramos sabido cual era la función superior y las hubiésemos puesto al revés simplemente pasaría que el resultado habría sido negativo. No pasa nada, se tomaba el valor absoluto ya está.