Función diferenciable con un óptimo en un punto
Hola Valeroasm!
Estoy tratando de resolver este problema pero no sé a que se refiere con lo de un óptimo. He consultado algunas fuentes disponibles en Internet y dependiendo de dónde busques en unos lados te dice que son puntos críticos y en otros que son extremos relativos. En los apuntes, ni siquiera lo menciona. ¿Podrías ayudarme a resolverlo en cuanto tengas un respiro?
Calcular para qué valores de los parámetros a y b la siguiente función diferenciable
tiene un óptimo en el punto (2,1).
f(x,y)=ax^3+3bxy^2-15a^2x-12y
Me harías un gran favor!
Gracias por todo!!
Un Saludo
1 Respuesta
Con la palabra óptimo solo podían referirse a un máximo o mínimo. El máximo beneficio o el mínimo gasto son dos óptimos. Si un óptimo fuese un punto crítico podría ser un punto de silla o un punto no diferenciable que no tienen nada de óptimos.
En casi todos los sitios daba por supuesto que era algo ya sabido, aquí he encontrado la definición que me convence:
http://www.mty.itesm.mx/etie/deptos/m/ma00-130/lecturas/m130-14.pdf
Para que el punto 2 tenga un óptimo tendrá que tener nulas las derivadas parciales para empezar a hablar.
f(x, y) = ax^3 + 3bxy^2 - 15a^2x - 12y
fx(x,y) = 3ax^2 + 3by^2 -15a^2
fy(xy) = 6bxy -12
Y estas dos derivadas parciales deben ser nulas en el punto (2,1)
3a·2^2 + 3b·1^2 - 15a^2 = 0 ==> 12a + 3b - 15a^2 = 0
6b·1·2 - 12 = 0 ==> 12b=12 ==> b=1
-15a^2 + 12a + 3 = 0
5a^2 - 4a - 1 = 0
a= [4+-sqrt(16+20)]/10
a=4+-6/10
a= 1 y -1/5
Luego (2,1) es punto critico en estos dos casos
a=1 y b=1
a=-1/5 y b=1
Calculamos la matriz Hessiana en esos puntos
fxx= 6ax
fxy=fyx=6by
fyy=6bx
Primero calculamos el caso a=1 y b=1, recordár que (x,y)=(2,1)
| 12 6 |
Hf = | |
| 6 12|LOs menores principales son 12 y (12·12-6·6)=108 ambos positivos, luego el punto es un mínimo y optimo por lo tanto
La matriz Hessiana con a=-1/5, b=1, x=2 e y=1 es
| -12/5 6 | | 6 12|
El menor principal de orden uno es negativo
El de orden 2 es -12·12/5 -6*6 negativo también
En este caso es un punto de silla.
La teoría dice que:
1) Si son todos positivos es mínimo.
2) Si impares negativos y pares positivos es máximo.
3) Si todos distintos de cero y no se cumple ni uno ni 2 es punto de silla
4) Si hay algún cero no se puede decir nada y hay que estudiarlo
en el caso concreto n=2, H1= 0 y H2<0 hay punto de silla
Todo esto lo dice en http://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_hessiana
Nuestro caso es el 3)
Podrían también calcularse los autovalores, y verías que hay uno positivo y otro negativo.
Luego con a=-1/5 y b= 1 no hay óptimo.
Resumiendo, el optimo se obtiene con a=1, b= 1.
Y eso es todo.
Excelente Aclaración!! Lo he entendido perfectamente!! Sólo tengo una dudilla. Entiendo que este resultado: 5a^2 - 4a - 1 = 0 surge al dividir el anterior entre 3 para simplificar la ecuación de 2º grado, que vamos a resolver a continuación. Sin embargo, ¿los signos no deberían ser positivos?, ¿los has puesto como negativos, para que a la hora de resolver la ecuación de 2º grado, la raíz no nos dé negativa y por tanto, podamos resolverla? (qué pregunta más larga!!jejejej)
A la espera de tu respuesta,
Un cordial saludo!!
Lo que he hecho es dividir por (-3). Lo mismo puede dividirse por un número positivo que negativo. Se podría haber hecho en dos pasos pero no cuesta nada hacerlo en uno y es una división seguida de un cambio de signo.
Aparte de procurar tener los coeficientes más bajos posibles también es conveniente que el signo del coeficiente en x^2 sea positivo, facilita bastante las operaciones.
GENIAL!! Un consejo de gran aplicación!! Muchísimas gracias por la resolución. Ahora ya tengo claro el concepto de punto óptimo. Si se ha dado cuenta, en los apuntes se utiliza el término de extremos relativos, lo que me había descolocado un poco. Pero luego el ejercicio en sí, es fácil de resolver.
Muchísimas gracias por su tiempo y dedicación,
Un cordial saludo
