Resolver las inecuaciones
a) 2(4x - 1) = 3(x + 2)
b) 3(x - 1) < x + 2
c) x^2 > x + 1
d) x + 5 > x + 3
<DIV>e) x^2(x - 1)/(x - 4) >0</DIV>1 Respuesta
Me arriesgaré y pondré el signo < en la primera ecuación. Si fuera el > no tienes más que cambiar el sentido en el resultado.
a)
2(4x-1) < 3(x+2)
8x - 2 < 3x + 6
8x -3x < 6+2
5x < 8
x < 8/5
b)
3(x - 1) < x + 2
3x - 3 < x + 2
3x - x < 2 + 3
2x < 5
x < 5/2
c)
x^2 > x + 1
x^2 - x - 1 > 0
En inecuaciones de este tipo lo mejor es olvidarse que es una inecuación, resolver la ecuación y al final se comprueban las respuestas que son válidas
x^2-x-1 = 0
x = [1 +- sqrt(1+4)]/2 = [1 +- sqrt(5)] / 2
Hay dos soluciones
x1 = [1-sqrt(5)] / 2
x2 = 1+sqrt(5)] / 2
Esto nos divide la recta en tres segmentos, en cada uno de ellos todos los puntos cumplen la inecuación o no la cumple ninguno.
x^2 - x - 1 > 0
El primer segmento es (-oo, x1). Si tomamos un valor muy a la izquierda tiende a +oo luego es mayor que 0 y se cumple
El segundo es (x1, x2) el 0 pertenece a ese segmento. Y el valor en x=0 de la función es -1, luego no cumple la inecuación
Y finalmente en el sector (x2, +oo) si tomamos un valor muy grande de x tiende a +oo que es positivo, luego se cumple.
Resumiendo, la respuesta es:
(-oo, x1) U (x2, +oo)
donde
x1 = [1-sqrt(5)] / 2
x2 = 1+sqrt(5)] / 2
Y por si no lo sabías o adivinado, sqrt() es la raíz cuadrada.
d) x+5 > x+3
5 > 3
Se cumple siempre, luego la solución es todos los números reales R.
e) x^2(x - 1)/(x - 4) > 0
x^2 es siempre positivo luego no va a alterar el signo de la operación salvo que haga cero todo cuando valga cero él. Vamos a ignorarlo de momento.
(x-1)/(x-4) > 0
Según la regla de los signos eso sucede cuando numerador y denominador son los dos positivos o cuando son los dos negativos. Examinemos cada caso por separado.
Si son positivos
x-1 > 0 ==> x > 1
x-4 > 0 ==> x > 4
Para que se cumpla que los dos sean positivos debe ser x > 4
Si son negativos
x-1 < 0 ==> x < 1
x-4 < 0 ==> x < 4
Para que los dos sean negativos debe ser x <1
Luego la respuesta sería (-oo, 1) U (4,+oo) si no fuera por que cuando x = 0 se anula la expresión por el x^2 que habíamos ignorado, y el valor cero de la función no nos sirve porque la desigualdad es estricta.
Luego la solución es
(-oo, 0) U (0,1) U (4, +oo)
Recuerdo que cuando el intervalo se cierra o abre con paréntesis el valor ese no se incluye. Para que se incluya debe escribirse un corchete [ o ] en el extremo del número que entra.
Y eso es todo.
