Hola necesito ayuda con una ecuación de la recta
Un triangulo isósceles tiene sus lados iguales sobre las rectas L1: 2x+3y-6=0 y L2: x - 3y -12=0, si el tercer lado pasa por el punto ( -2, 5 ). Hallar su ecuación.
1 respuesta
Gabita 1698!
Es necesario hacer la gráfica ya que las dos rectas determinan cuatro triángulos y solo uno de ellos sirve. Y analíticamente es difícil saber cuál y aun más difícil explicarlo.
La intersección la calculamos resolviendo las ecuaciones
2x + 3y - 6 = 0
x - 3y - 12 = 0
Sumándolas
3x -18= 0
3x = 18
x=6
2·6 + 3y - 6 = 0
3y + 6 = 0
y = -2
Luego es el punto (6, -2)
El vector director de una recta Ax+By+C= 0 es (B,-A) o (-B,A)
Luego el vector director de L1 es (3, -2) o (-2, 3)
Viendo el dibujo el lado de obtiene a partir del vértice aplicando el vector (-2,3)
Y el vector director de L2 es (-3, -1) o (3,1)
Vemos que para formar el lado del triangulo debemos usar el vector (3,1) a partir de la intersección.
Ahora debemos hacer que los dos vectores tengan la misma longitud
El módulo de (-2,3) es sqrt(4+9) = sqrt(13)
El módulo de (3,1) es sqrt(9+1) = sqrt(10)
Multiplicaremos (-2,3) por sqrt(10) y (3,1) por sqrt(13) par que tengan el mismo módulo
(-2sqrt(10), +3sqrt(10))
(3sqrt(13), sqrt(13))
Estos dos vectores multiplicados por la misma constante y sumados al vértice nos dan los otros dos vértices
V2= (6-2k·sqrt(10), -2+3k·sqrt(10))
V3= (6+3k·sqrt(13), -2+k·sqrt(13))
El lado será la recta L3 que los une
Lo haría con el editor de ecuaciones pero no funciona, asi que perdona porque no se va a entender pero no queda otro remedio que escribirlo así
L3: [x - 6 + 2k·sqrt(10)] / [6+3k·sqrt(13)- 6+2k·sqrt(10)] =
[y + 2 - 3k·sqrt(10)] / [-2+k·sqrt(13) +2-3k·sqrt(10)]
L3: [x - 6 + 2k·sqrt(10)] / [3k·sqrt(13) + 2k·sqrt(10)] =
[y + 2 - 3k·sqrt(10)] / [k·sqrt(13) - 3k·sqrt(10)]
sustituimos (x,y) por (-2,5) que es el punto por donde debe pasar
[-8 + 2k·sqrt(10)] / [3k·sqrt(13) + 2k·sqrt(10)] =
[ 7- 3k·sqrt(10)] / [k·sqrt(13) - 3k·sqrt(10)]
Podemos simplificar las k de los denominadores
[-8 + 2k·sqrt(10)] / [3sqrt(13) + 2sqrt(10)] =
[ 7- 3k·sqrt(10)] / [sqrt(13) - 3sqrt(10)]
[-8 + 2k·sqrt(10)] [sqrt(13) - 3sqrt(10)] =
[ 7- 3k·sqrt(10)] [3sqrt(13) + 2sqrt(10)]
-8sqrt(13) + 24sqrt(10) + 2k·[sqrt(130)-30]=
21sqrt(13)+14sqrt(10) -3k[3sqrt(130) +20]
k[2sqrt(130)-60 +9sqrt(130)+60 =
21sqrt(13)+14sqrt(10) +8sqrt(13) -24sqrt(10)
11k·sqrt(130) = 29sqrt(13)-10sqrt(10)
k = [29sqrt(13)-10sqrt(10)] / [11sqrt(130)] =
[29·13·sqrt(10) - 10·10·sqrt(13)] / (11·130) =
[377sqrt(10) - 100sqrt(13)] / 1430
Y este valor de k lo llevamos donde teníamos la ecuación de L3 y ya está la ecuación de la recta, perdona que no lo haga pero es imposible trabajar estas expresiones sin el editor de ecuaciones, la cabeza me echa humo.
¡Ah se me olvidó poner la gráfica! Pensaba ponerla al final con la recta ya calculada. Aquí esta. Por la posición del punto verde se ve cuales eran los vectores que había que escoger.
