Problema con plano que contiene a un punto y a una recta intersección de dos planos
El problema dice que debo determinar la ecuación de un plano que con tiene a un punto P (1,-2,3) y a la recta intersección de los planos A: x + 2y - z + 2 =0 y B: x - y +3z -5 =0
Yo pensé que debería sacar el vector direccional de la recta intersección de los dos planos, ya que este vector sería perpendicular a la normal del plano buscado. Entonces diria que el producto escalar entre ellos seria cero. Pero luego no se como seguirlo, no se si hacer un sistema de ecuaciones con el punto P y los datos obtenidos del producto escalar.
1 respuesta
Prueba a ver con esto.
Si el plano que te piden tiene la recta que a su vez tienen los otros dos, significa que la intersección de los tres planos es esa recta, luego el sistema de tres ecuaciones formado por los tres planos no tiene respuesta única y puedes expresar una de las ecuaciones, la del plano nuevo, como combinación lineal de las otras dos. Así la ecuación del plano será
ax + 2ay - az +2a + bx - by + 3bz -5b =0
Para pasar por el punto (1,-2,3) se debe cumplir
a - 4a - 3a + 2a + b + 2b + 9b - 5b = 0
-4a +7b = 0
4a=7b
Pruebas con a=7 y b=4
7x + 14y - 7z + 14 + 4x - 4y + 12z - 20 = 0
??11x + 10y + 5z - 6 = 0
Y esa es la ecuación del plano. Todo lo que viene ahora es mera comprobación.
Fácilmente se comprueba que contiene el punto (1,-2,3)
11-20+15-6 = 0
Y la recta intersección
1 2 -1 | -2 1 -1 3 | 5 Restamos la primera a la segunda 1 2 -1 | -2 0 -3 4 | 7 Podemos calcular dos puntos de esta recta intersección. Damos cualquier valor a y o z, con eso calculamos el Otro valor en la segunda ecuación y despues con esos dos Calculamos la x en la primera. Yo he escogido la y de Modo que diera respuestas enteras. y=-1 z=1 x=1 y=3 z=4 x=-4
Y comprobamos que el plano nuevo contiene esos dos puntos de la recta
11 - 10 +5 - 6 = 0
-44 + 30 + 20 - 6 = 0
Y eso es todo. Espero que te sirva y lo hayas entendido, si no consúltamelo de nuevo
Gracias por atender la consulta! Entendí todo el procedimiento pero no entiendo porque el plano buscado tiene que ser combinación lineal de los otros dos.
A lo mejor te gusta más de la forma que lo estabas haciendo. El vector de la recta sera perpendicular al del plano. Luego el producto escalar de ambos será cero
El vector de la recta es el producto vectorial de los vectores de los dos planos
|i j k| |1 2 -1| = [2·3-(-1)(-1)]i -[1·3-(-1)1]j + [1(-1)-2·1]k |1 -1 3|
5i - 4j - 3k
Sea el plano nuevo con el primer coeficiente puesto a 1
×+By+Cz+D=0
el producto escalar de los vectores de recta y plano será
5 - 4B - 3C = 0
Ahora hay que imponer que pase por algún punto de la recta. Vamos a calcularlo igual que hice antes. Ahora lo hago más detallado
Restando la primera ecuación a la segunda nos quedan estas dos útiles:
x+2y-z = -2 -3y+4z = 7
Damos el valor arbitrario y=-1 ==>
3+4z =7 ==> z=1 ==> ×-2-1=-2 ==> ×=1
Así (1,-1,1) pertenece al recta luego
1-B+C+D=0
y para que pase por el punto (1,-2,3) debe cumplirse
1-2B+3C+D=0
Y tenemos tres ecuaciones y tres incógnitas que retocadas un poco son
B-C-D=1
4B+3C=5
2B-3C-D=1
1 -1 -1 | 1 1 -1 -1 | 1 1 -1 -1 | 1 4 3 0 | 5 0 7 4 | 1 0 0 11 |-6 2 -3 -1 | 1 0 -1 1 |-1 0 -1 1 |-1
D=-6/11
-C-6/11 = -1 ==> C =1-6/11 = 5/11
B-5/11+6/11 = 1 ==> B = 1-1/11 = 10/11
Luego el plano será
×+10y/11 +5z/11 -6/11 = 0
11x + 10y + 5z - 6 = 0
Que es el mismo que habíamos obtenido antes, pero yo creo que ha sido mucho más laborioso.
Y eso es todo.
Es combinación lineal de los otros dos porque el sistema formado por las tres ecuaciones de los tres planos tiene como respuesta una recta. Luego las tres ecuaciones no son independientes, ya que si lo fueran la intersección seria solo un punto. Y al no ser independientes, cualquiera de ellas será combinación de las otras dos.
¿Lo entiendes ahora?
Muchísimas gracias, realmente lo entiendo mejor así. Será porque es la metodología con que me fueron enseñando.
Te agradezco tu respuesta!
