Dos raíces de una ecuación cubica son
m= -1/2 y m = 3 + i
me dice que determine la tercera raíz, la ecuación característica y la forma de la ecuación diferencial.
si me podría ayudar, por favor!
1 respuesta
Se supone que es una ecuación cúbica con coeficientes en R, ya que si fueran coeficientes complejos la tercera raíz podría ser cualquiera y no habría una sino infinitas respuestas.
Lo que sucede con las ecuaciones polinómicas de coeficientes reales es que si tienen una raíz compleja también tienen como raíz la conjugada de esa raíz.
En el caso que nos ocupa tenemos la raíz compleja 3+i, luego 3-i también es raíz de la ecuación.
Luego la primera respuesta es:
3-i
Entiendo que estamos hablando de ecuaciones características de ecuaciones diferenciales lineales. Vamos a calcularla.
Dado un polinomio con r1, r2, ..., rn raíces entonces el polinomio es
(x-r1)(x-r2)····(x-rn)
En este caso será
(x + 1/2) (x - 3 - i)(x - 3 + i) =
(x + 1/2) [(x-3)^2 -i^2)] =
(x + 1/2) (x^2 - 6x + 9 +1) =
(x + 1/2)(x^2 - 6x + 10) =
x^3 - 6x^2 + 10x + (1/2)x^2 - 3x + 5 =
x^3 - (11/2)x^2 +7x +5 = 0
Esa es la ecuación característica, si usáis otra letra como la k por ejemplo seria
k^3 - (11/2)k^2 + 7k + 5 = 0
Y la forma de la ecuación diferencial es:
Si la raíz es real r con multiplicidad uno se añade un sumando C·e^(rx) por cada raíz de ese tipo.
Si hay dos raíces complejas conjugadas (a+bi) y (a-bi) con multiplicidad 1 se añade un sumando de esta forma
e^(Ax)(C1·cos(bx) + C2·sen(bx)
Por cada par de raíces de esas características
Entonces para las raíces que tenemos, la solución general de la ecuación diferencial homogénea es
y = C1·e^(x/2) + e^(3x)(C2·cosx + C3·senx)
Donde C1, C2 y C3 son constantes que pueden tomar cualquier valor real.
Muchísimas gracias! entendí perfectamente. Si se puede quisiera que me responda otra duda, se que en su descripción dice qe solo un ejercicio pero si puede se lo dejo ahi para no tener qe escribirle mas veces. Muchas gracias, buenas tardes.
*Una solución de y''' + 6y'' + y' - 34y = 0 es y = e^-4x cos x. Sin resolver la ecuación determines las otras dos soluciones.
Se que la otra solución seria y = e^-4x sen x, pero no entiendo como encontrar la tercera.
Espera un momento, me confundí con la respuesta en el signo de la primera raíz.
La solución general es:
y = C1·e^(-x/2) + e^(3x)(C2·cosx + C3·senx)
Si, intento llevar lo de un ejercicio por pregunta. Y tratándose de ecuaciones diferenciales con mayor motivo. Mándame el ejercicio en otra pregunta. Pero es que no está bien redactado.
Esa ecuación diferencial no tiene solo tres respuestas sino que tiene infinitas y si me apuras te diría que infinitas al cubo.
El enunciado creo que debería ser algo como:
Dado que y = e^(-4x)·cosx es una solución particular de y''' + 6y'' + y' - 34y, calcula la solución general de la ecuación diferencial.
Asi tendría sentido.
Pero es que y=e^(-4x)·cosx no es solución de esa ecuación luego el enunciado está mal de forma más grave. Una solución de verdad es y=e^(-4x)(cosx+senx)
Revisa el enunciado y mándamelo todo en otra pregunta. Antes finaliza esta.
