Región acotada por las parabolas

La gráfica la dibujas del modo que lo hagas, son funciones muy sencillas, lo único que en las tablas se da valores a la "y" y se calculan los de x. Esta es la gráfica:

Puesto que tenemos despejada la x como función de y tomaremos esas funciones como limites de la x y tendremos que dar límites fijos a la variable y.

Se ve en la figura, pero si no calculamos los puntos de intersección igualando las ecuaciones

y^2 = 2y - y^2

2y^2 - 2y = 0

y= 0

2y - 2 = 0

y=1

los límites en y son 0 y 1

$$\begin{align}&Area=\int_0^1 \int_{y^2}^{2y-y^2}dxdy=\\ &\\ &\int_0^1\left.x  \right|_{y^2}^{2y-y^2}dy=\int_0^1(2y-y^2-y^2)dy=\\ &\\ &\left[y^2-\frac 23y^3  \right]_0^1=1-\frac 23=\frac 13\end{align}$$

Y eso es todo.