Campo fijo de un automosfismo
Hola! Ojalá me puedas ayudar con esto, es también de álgebra abstracta.
Sea
$$\sigma$$
el automorfismo de
$$\mathbb{Q}(\pi)$$que transforma pi sobre -pi.
a) Describa el campo fijo de sigma.
b) Describa todas las extensiones de sigma a un isomorfismo que transforme el campo
$$\mathbb{Q}(\pi)$$en
$$\overline{\mathbb{Q}(\pi)}$$
Menuda. Aprobé Álgebra III porque el profesor nos hizo el examen con apuntes, Que eso me salvaba a mi que tenía muy mala memoria. Pero 30 años después no me acuerdo de nada porque no la he utilizado y eres la primera que hace preguntas de estas.
De los libros que me decías solo pude descargar el Herstein. No sé si allí estará la teoría sobre esto. Si tuvieras algún otro libro sober esto te agradecería si pudieras darme un enlace para descargarlo.
Y te voy a tener que pedir paciencia, se me agolpan preguntas de matemáticas y Excel, las más complicadas las tengo pendientes desde hace semanas.
Sea f el automorfismo que transforma Pi en -Pi
Sea a+b·Pi € Q(Pi)
f(a+b·Pi) = f(a) + f(b·Pi) = f(a·1) + f(b·Pi) =
a·f(1) + b·f(Pi) =a·1 + b(-Pi) = a-b(Pi)
Entonces f deja fijo todo elemento de la forma
a+0Pi = a € Q
Luego el campo fijo de f es Q.
De la segunda parte aun nada no la entiendo, no se que son las extensiones de un automorfismo. ¿Seguro qué está bien el enunciado? ¿La barra significa la clausura?
Espera, que está mal.
La barra significa la cerradura algebraica de Q(pi)
Pi es trascendente sobre Q, luego ningún polinomio de Pi en Q es igual a cero.
La extensión Q(Pi) es el conjunto de todos los polinomios de Pi de cualquier grado
Un elemento de Q(pi) es
a = a0 + a1·pi + a2·pi^2 + ..... + an·pi^n
Sea f un automorfismo.
f(a) = f(a0) + f(a1)f(pi) + ....+ f(an)f(pi^n)
Bueno, aquí he perdido horas intentando identificar el automorfismo y no he llegado a nada. Entonces supondré que cuando hablan del automorfismo se refieren a aquel que deja fijos todos los elementos de Q, con lo cual
f(a) = a0 + a1·f(pi) + ....+ an·f(pi^n)
Sabemos que f(pi) = -Pi luego
f(pi^2) = f(pi)·f(pi) = (-pi)(-pi) = pi^2
f(pi^3) = f(pi^2)·f(pi) = pi^2·(-pi) = -pi^3
y en general
f(pi^n) = (-1)^n·pi^n
lo cual de la típica cadena de +-+-
f(a) = a0 - a1·pi + a2·pi^2 - a3·pi^3 .....+ (-1)^n·pi^n
Si comparamos a y f(a) se tiene que son diferentes en los términos de grado impar. Si a es solo combinación lineal de a0 y los términos pares tenemos a=f(a)
Pero los polinomios con términos pares son los del cuerpo Q(pi^2).
Luego el campo fijo de sigma es Q(pi^2)
La parte b ni idea.
Gracias.
Otro libro que hay sobre esto: http://ebookbrowse.com/fraleigh-j-algebra-abstracta-3aed-pdf-d92418672
¡Huy, que mala espina me da ese sitio! Me lo bloquea el antivirus. El libro de Fraleigh lo tengo ya hace bastante porque me mandaban muchos problemas de grupos del libro ese. Pero tiene un serio problema de escaneo. Es un libro rancio y mal escaneado, cuando aparecen subíndices no se distinguen la mayoría de las veces, ese es el problema que tiene. Son preferibles los que están directamente escritos en ordenador o los que estén muy bien escaneados.
Te pediría que puntuaras ya esta pregunta y mandaras la otra parte en otra, Aunque sea una sencillez he dedicado mucho tiempo a ella y la parte que queda no sé cuándo me podré poner con ella. Aparte es que no me suena de nada la terminología del enunciado, no estaría mal si me lo explicaras, me dijeses el capítulo del libro donde aparece, etc.
