Problema de flujo de calor en el tiempo
Si tenemos un cuerpo con una temperatura determinada y este cuerpo se esta enfriando a una tasa de cambio de temperatura en el tiempo T(t). Se sabe que el cambio de
temperatura de un cuerpo es proporcional a la diferencia de la temperatura actual del cuerpo y la temperatura del medio ambiente que lo rodea, Ta y se representa por la ecuación diferencial:
dT / dt = k(T - Ta)
en donde k es una constante de proporcionalidad.
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Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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Eso es una ecuación diferencial, se resuelve. Es sencilla, de variables separadas
$$\begin{align}&\frac{dT}{dt}= k(T-T_a)\\ &\\ &\frac{dT}{(T-T_a)}=k\;dt\\ &\\ &\\ &ln(T-T_a) = kt + C\\ &\\ &T-T_a= e^{kt+C}\\ &\\ &T =T_a+e^Ce^{kt}\\ &\\ &\text{reconvertimos }e^C \;en\; C\\ &\\ &T = T_a+Ce^{kt}\end{align}$$Y eso es todo.
Espera, que la C tiene un significado y es mejor que se lo demos.
En el instante 0 la temperatura será To, entonces
$$\begin{align}&T(0) = T_a+Ce^{k·0}=T_0\\ &\\ &Ta+C =T_0\\ &\\ &C=T_0-T_a\\ &\\ &\\ &\text {con lo cual la fórmula queda}\\ &\\ &T(t) = Ta+(T_0-T_a)e^{kt}\end{align}$$Así es más útil la fórmula.
