Dado los siguientes puntos en R3: A=(0,1,0), B=(2,2,0), C=(0,0,2) y D=(a,b,c), determine:

Mucho más rapido que calcular D, las diagonales y su intersección es usar que en un paralelogramo las diagonales se cortan en el punto medio.
El punto medio de AC es [(0,1,0)+(0,0,2)] / 2 = (0,1,2)/2 = (0, 1/2, 1)

Y ya estaría, pero si te piden que lo hagas por intersección de rectas es así:

En un parelologramo los lados son paralelos dos a dos y tienen la misma longitud.

Para calcular D basta aplicar en el punto C el vector opuesto de AB

v(AB) = (2, 2, 0) - (0, 1, 0) = (2, 1, 0)

D = A - v(AB) = (0, 0, 2) - (2, 1, 0) = (-2,-1,2)

diagonal AC: (0,1,0) + t[(0,0,2)-(0,1,0)] =(0,1,0)+t(0,-1,2) =

(0, -t, 2t)

diagonal BD: (2,2,0) +s[(-2,-1,2)-(2,2,0)] = (2,2,0) + s(-4,-3,2) =

(2-4s, 2-3s, 2s)

Un punto de intersección tendrá iguales las tres coordenadas, simplemente igualamos las dos primeras y es

0 = 2-4s

4s=2

s=1/2

Con lo cual el punto de intersección es

(2-4(1/2), 2-3(1/2), 2(1/2)) = (0, 2-3/2, 1) = (0,1/2, 1)

Que como ves es lo que habíamos dicho al principio.

Y eso es todo.